Тренировочный вариант №100. Решения заданий 15-21

Тренировочный вариант №100. Решения заданий 15-21.

Решения публикуются по материалам обсуждения на форуме

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина высоты, опущенной из вершины S на основание ABCD, равна . Через точку касания с боковой гранью SAB вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой АВ проведена плоскость, проходящая через ближайшую к вершине S точку шара.

а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.

б) Найдите площадь сечения, если АВ=.

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек В и С опущены перпендикуляры на прямую AD. Они пересекают прямые АС и BD соответственно в точках E и F.

а) Докажите, что BCEF – ромб

б) Найдите отношение площади четырехугольника BCEF к площади вписанного в него круга, если BF:CE=3:4

В родном городе Аристарха Луков-Арбалетова количество людей, пользующихся железной дорогой, постоянно. Из этих людей свой проезд оплачивают 10%, а ещё 10% выплатой штрафов за безбилетный проезд доводят получаемую РЖД (руководством железной дороги) прибыль до 100% от ожидаемой.

Поскупившись платить контролёрам, взимавшим штрафы, РЖД ограничило вход на все станции турникетами, стоимость установки которых составила 100% от годовой прибыли. Цена проезда выросла на 50%, поскольку РЖД планировало окупить турникеты за 2 года, а контролёры были уволены.

Однако 10% пассажиров возмутились проявленным со стороны РЖД недоверием и повышением цен на билеты и перестали пользоваться железной дорогой. Остальные 90% пассажиров продолжили ездить, и в первый месяц все они оплачивали свой проезд. На второй месяц в кассы РЖД не попали деньги ещё 10% от первоначального числа клиентов, так как их физическая подготовка оказалась достаточной для беспрепятственного преодоления турникетов. А в связи с появлением дырок в заборах около станций с каждым последующим месяцем этот процент стал увеличиваться на 2 и рос бы до тех пор, пока все бывшие зайцы не нашли бы способ ездить в обход турникетов.

Поэтому каждые полгода с момента установки турникетов РЖД тратит 15% ожидаемой месячной прибыли на ремонт заборов, из-за чего процент зайцев вновь возвращается к 10 от первоначального числа всех пользователей железной дороги, и затем ситуация с двухпроцентным приростом зайцев повторяется.

За какой срок окупится и окупится ли установка турникетов, если срок их работы - 10 лет, а контролёров РЖД так и не наймёт?

Произведение трёх натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию, является делителем некоторого числа вида , где .

а) Существует ли такая арифметическая прогрессия с разностью 12.

б) Существует ли такая арифметическая прогрессия с разностью 10 или 11

Эксперт, проверяющий работу, располагает критериями оценивания решений заданий С1–С6, включающими:
1) формулировку задания с развёрнутым ответом; 2) одно из возможных решений задания; 3) содержание критерия.
Следует помнить, что, проверяя решения заданий с развёрнутым ответом, эксперт оценивает математическую грамотность представленного решения. Эксперт не должен предъявлять особых требований к форме записи и к степени подробности решения, но в то же время должен следить за правильностью и обоснованностью математических утверждений, используемых экзаменуемым. Максимальный балл за задания: С1 – 2 балла, С2 – 2 балла, С3 – 3 балла, С4 – 3 балла, С5 – 4 балла, С6 – 4 балла. Если экзаменуемый не приступал к задаче, то в протокол ставится «х». Если же экзаменуемый приступил к выполнению задания (даже если только переписал условие или написал номер задания), то решение должно быть оценено в соответствии с критериями проверки соответствующего задания.