Тренировочный вариант №68

Варианты публикуются еженедельно в воскресенье, ответы - в пятницу.

      Ответы:                                                                                            Обсуждение задач...                                                    

С6.  а) да; б) нет.

а) Если вместимость стакана считать равной 1, то в первых трех стаканах в сумме 1 и 1/12 воды. Перельем в первый стакан всю воду из второго, а затем из третьего, пока первый не заполнится. После этого в третьем стакане окажется 1/12 .

б) Докажем индукцией по количеству переливаний, что количество воды в непустом стакане после переливаний есть либо 1, либо дробная часть суммы некоторых из чисел ½,1/3,1/4,1/5,1/8,1/9,1/10 при этом в разных стаканах в суммах участвуют неповторяющиеся числа. База индукции верна. Пусть в стаканах A и B количество воды равно a и b соответственно. Если из стакана A в стакан B переливается вся вода, то новые количества составляют 0 и a+b , а если стакан B наполняется из A доверху, то a+b-1 и 1. Теперь ясно, что утверждение осталось истинным.

Пусть 1/6=a₁+...+ a_k , где a_i – некоторые из чисел ½,1/3,1/4,1/5,1/8,1/9,1/10 Покажем, что в этой сумме нет чисел 1/4,1/5,1/8,1/9,1/10  .

Действительно, легко проверить, что если там присутствует хотя бы одно из чисел 1/5 или 1/10 , одно из чисел 1/4 или 1/8 , или число 1/9 , то знаменатель получившейся дроби делится на 5, 4 или 9 соответственно. В то же время число 6 не делится ни на одно из этих чисел.

Из чисел же 1/2 и 1/3 невозможно сложением получить число с дробной частью 1/6 .   Автор: Агаханов Н.Х.