|
C6: Решение
а)
Достаточно заметить, что в последовательности 1975... после каждой
чётной цифры идут подряд четыре нечётные цифры (такие четвёрки
периодически повторяются). Поэтому четвёрка 1 2 3 4 в этой
последовательности встретиться не может. Четвёрка 3 2 6 9 тоже
встретиться не может.
б) В условии задачи дано правило, как по четырём рядом стоящим цифрам
определять следующую цифру. Попробуем сделать наоборот: по четырём рядом
стоящим цифрам a b c d определить
предшествующую им цифру x. Поскольку цифра d следует за
четвёркой цифр x a b c, то цифра d равна
последней цифре суммы x + a + b + c и,
значит, x + a + b + c = 10k + d при
некотором целом k. Отсюда, х = 10k + (d - a - b - c).
Поскольку x — цифра, то из последнего выражения следует, что x равно
остатку от деления на 10 числа (d - a - b - c).
Разделить число p на число q с остатком, — значит, найти
числа s и r такие, что p = sq + r и 0
≤ r < q. (Обратите внимание, что остаток от деления числа
-13 на 10 равен 7, а не -3.) Остаток от деления одного целого числа на
другое определяется однозначно; значит, цифра x также
определяется однозначно. Например, чтобы определить цифру,
предшествующую четвёрке 1 9 7 5, надо от 5 отнять 1, 9, 7 и разделить
полученное число (─12) с остатком на 10. В остатке получим 8; значит
цифра 8 предшествует четвёрке 1 9 7 5. Итак, мы доказали следующее
утверждение: двум одинаковым четвёркам цифр, стоящих рядом в
последовательности 197523..., предшествует одна и та же цифра. Поскольку
различных четвёрок цифр конечное число, а именно, 10000 штук, — то в
бесконечной последовательности 197523... какая-то четвёрка встретится
вторично. Пусть это будет четвёрка цифр a, b, c, d.
Тогда последовательность имеет вид
1 9 7 5 2 3 ... x a b c d ... y a b c d ...
Напишем под этой последовательностью эту же последовательность ещё раз,
но "сдвинутую" так, чтобы под первой четвёркой a b c dоказалась
вторая. Согласно доказанному выше утверждению x = y.
Аналогично, совпадают цифры и в предшествующем x и y столбце,
и так далее. Поэтому под четвёркой 1 9 7 5 в "верхней"
последовательности стоит четвёрка 1 9 7 5 в "нижней" последовательности.
А это и означает, что четвёрка 1 9 7 5 встречается в последовательности
1 9 7 5 2 3 ... вторично.
в) Как было показано выше, перед четвёркой цифр 1 9 7 5, встречающейся в
последовательности 1 9 7 5 2 3 ... во второй раз, будет стоять цифра 8.
Значит, в рассматриваемой последовательности встретится четвёрка
8 1 9 7.
|
