Скачать документ в формате pdf
Обсудить задания, посмотреть подробные решения части С, задать вопросы можно на форуме
Ответы к заданиям части 1 Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
С6 (a). Обозначим (Y,G,R) упорядоченную тройку чисел, характеризующую состояние мешка на данный момент, т.е. количество жёлтых (yellow), зелёных (green) и красных (red) шаров в мешке. Изначально мешок находится в состоянии (1,1,2). Если в первый раз из мешка вынимают жёлтый и зелёный шар и заменяют их красным шаром, то мешок переходит в состояние (0,0,3), когда все шары в мешке – красные. Если в первый раз из мешка вынимают зелёный и красный шар и заменяют их жёлтым шаром, то мешок переходит в состояние. Дальнейшие переходы из одного состояния в другое определяются однозначно и описываются цепочкой: (2,0,1)->(1,1,0)->(0,0,1) Видим, что в мешке остался красный шар. Аналогично, если в первый раз из мешка вынимают жёлтый и красный шар и заменяют их зелёным шаром, то мешок переходит в состояние. Дальнейшие переходы из одного состояния в другое определяются однозначно и описываются цепочкой: (0,2,1)->(1,1,0)->(0,0,1) Видим, что в мешке снова остался красный шар. Таким образом, в любом случае оставшиеся в мешке шары (или шар) будут красными.
(б). Легко видеть, что в мешке могут остаться зелёные шары: (3,4,5)->(4,3,4)->(3,4,3)->(2,5,2)->(1,6,1) Докажем, что в любом случае оставшиеся в мешке шары будут зелёными. Так как каждый раз общее количество шаров в мешке уменьшается на 1, то процесс завершится не более чем за 11 шагов. В начальном состоянии количество жёлтых и красных шаров нечётно, а количество зелёных шаров – чётно. Поскольку за один ход (выемку и замену шаров) количество шаров каждого цвета изменяется на 1, количество жёлтых и красных шаров всегда будут одной чётности, а количество зелёных шаров – противоположной чётности. Поэтому, никогда нельзя получить состояние, в котором количество зелёных и количество красных шаров оба будут нулевыми, также, как никогда нельзя получить состояние, в котором количество зелёных и количество жёлтых шаров будут нулевыми. Следовательно, в любом случае в конце мы получим состояние, в котором все оставшиеся в мешке шары будут зелёными.
(в). Обозначим f(S)=Y-G, где Y и G – количества жёлтых и зелёных шаров в данном состоянии S=(Y,G,R) Предположим, что из состояния S за один шаг мы перешли в состояние S’=(Y’,G’,R’) Докажем, что f(S) и f(S’) дают одинаковые остатки при делении на 3. Для этого покажем, что разность Df=f(S’)-f(S) делится на 3. Рассмотрим несколько случаев. Случай 1. Y'=Y-1, G'=G-1, R’=R+2. Df=f(S’)-f(S)=(Y’-G’)-(Y-G)=((Y-1)-(G-1))-(Y-G) Случай 2. Y'=Y-1, G'=G+2, R’=R-1. Df=f(S’)-f(S)=(Y’-G’)-(Y-G)=((Y-1)-(G+2))-(Y-G) Случай 3. Y'=Y+2, G'=G-1, R’=R-1. Df=f(S’)-f(S)=(Y’-G’)-(Y-G)=((Y+2)-(G-1))-(Y-G) Видим, что f(S) и f(S’) дают одинаковые остатки при делении на 3. Для начального состояния S0(3,4,5) находим: f(S0)=Y-G=3-4=-1 Oбщее количество шаров в мешке остаётся неизменным, поскольку каждый раз два вынутых шара заменяются двумя шарами другого цвета. Если бы в конце в мешке все шары оказались бы одного цвета, то конечным состоянием Sn было бы одно из трёх состояний (12,0,0), (0,12,0) или (0,0,12). В любом случае f(Sn) будет делиться на 3, и, значит, f(S0) и f(Sn) дают разные остатки при делении на 3. Следовательно, применяя указанную процедуру, добиться того, чтобы в мешке оказались шары одного цвета, нельзя. Можно построить диаграмму, устанавливающую из каких состояний можно прийти в состояние (12,0,0) .
Поскольку среди этих состояний нет состояния (3,4,5) или какой-либо его перестановки, приходим к тому же выводу другим путём: добиться того, чтобы в мешке оказались шары одного цвета, нельзя.
|
Кто спасает ребёнка, тот спасает целый мир!
Обращаемся ко всем неравнодушным людям – пожалуйста, помогите нам
собрать деньги на лечение нашей дочери в Германии. Предварительная стоимость лечения-45000 ЕВРО=1850 000 РУБ. Осталось собрать: 1 222 283 руб! |