1. Опишите и покажите штриховкой на координатной плоскости ХОУ область определения функции

Ограничения имеют вид:

На рисунке показана область, описываемая данными ограничениями. Красным цветом показана дуга эллипса, соответствующая третьему ограничению системы. Область определения функции показана серым цветом. Граница области, определяемая первым ограничением, включается в область.

2. Проверьте для функции .

Как видно, .

Проверка в системе Maple 8:

> z:=x*exp(4*(x^(-2)-y^(8/3)));

> zx:=diff(z,x);zy:=diff(z,y);

> zxy:=diff(zx,y);zyx:=diff(zy,x);

3. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду в точке М₀ с координатами х = 2, у = -2.

Найдем значение функции в точке М₀

Уравнение нормали:

Уравнение касательной плоскости:

4. На координатной плоскости ХОУ постройте область D, ограниченную линиями:

а) С помощью двойного интеграла вычислите площадь области D

б) Вычислите двойной интеграл

а)

>

б)

Проверка в системе Maple 8:

>

>

5. Напишите и проверьте формулу Остроградского – Грина для силы по контуру треугольника с вершинами А(4 , 1), В(5 , 2), С(4 , 3).

Уравнения сторон треугольника:

AB:

BC:

AC:

Формула Остроградского – Грина

>

Для проверки вычислим криволинейный интеграл по контуру треугольника:

Что и требовалось проверить.