Задание №1

Даны координаты трех точек:

A(4; 4) B(6; 3) C(3; 6)

1) Проверить, не лежат ли точки на одной прямой, составить уравнение прямой AB.

Подставим в полученное уравнение координаты точки С: , значит, точка С не лежит на одной прямой с точками А и В.

2) Уравнение высоты CK треугольника АВС

По условию, СК перпендикулярна стороне АВ, значит, направляющий вектор прямой СК перпендикулярен направляющему вектору прямой АВ:

Из условия получаем:

Тогда

Искомое уравнение

3) Уравнение медианы AD треугольника ABC

По условию D – середина BC, значит

4) Координаты точки пересечения высоты СК и медианы AD.

Решим систему уравнений:

Высота пересечется с медианой в начале координат.

5) Угол между медианой AD и высотой AC

6) Площадь треугольника ABC

Задание №2

Даны координаты четырех точек

A(1; -2; -2) B(1; -1; -2) C(1; 0; -1) D(0; -1; -1)

1) Проверьте, что эти точки не лежат в одной плоскости.

Значит, векторы некомпланарны.

2) Найдите уравнение плоскости ABC

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через 3 точки

Плоскость параллельна плоскости YOZ

3) Найти уравнение прямой AB

4) Площадь треугольника ABC

5) Уравнение и длину высоты H пирамиды ABCD, опущенной из вершины D на основание ABC.

Вектор, перпендикулярный плоскости ABC имеет координаты (1; 0; 0) – это видно из уравнения плоскости. Этот вектор будет направляющим вектором высоты H. С учетом того, что эта высота проходит через точку D, получаем:

Чтобы найти длину высоты, найдем объем пирамиды:

Из геометрии известно, что , получаем:

6) Координаты точки К –основания высоты Н

Из условия пересечения высоты

и плоскости АВС:

x = 1

Получаем: K(1; -1; -1)

7) угол между ребром DA и основанием АВС и угол между гранями АВС и ADC.

Угол между гранями АВС и ADC ,будет равен углу между нормалями к этим плоскостям. Найдем уравнение плоскости ADC и координаты вектора нормали:

8) Объем пирамиды. (см. п.5)