14.1
Вычислить массу дуги 
между точками с
абсциссами 
, если линейная плотность в каждой точке равна квадрату
абсциссы точки.
РЕШЕНИЕ
Масса
дуги может быть найдена по формуле 
,
14.2
Вычислить
криволинейный интеграл 
по незамкнутой линии BSA (см. рис)
y
S A
B
-1 0 x
непосредственно и с использованием формулы Грина (BSА – смежные стороны квадрата)
РЕШЕНИЕ
Разобьем заданный
интеграл на два:
+
=
По
формуле Грина:
Дополним контур до замкнутого ASBO.
По формуле Грина:
+
+
=
=
Итого: 
, следовательно = 0
14.3
Вычислить поверхностный интеграл 
, где S – внешняя сторона
поверхности полусферы 
Участок S представляет собой четвертую часть сферы, расположенную в положительных областях координатных осей х и у. На плоскости уОх этот участок дважды проецируется в четверть круга Dyx.
z
y
x
Т.к.
внешние нормали для z
> 0 образуют с осью z острые углы, а при z < 0 – тупые, то
Проекция поверхности на плоскость zOx – полукруг Dzx, а внешняя нормаль к поверхности образует с осью у острый угол, значит
14.4
Для функциональной последовательности 
определить множество сходимости, найти предельную функцию и
начертить ее график.
у
РЕШЕНИЕ
.
х
Значит
- предельная функция при 
14.5
Исследовать равномерную сходимость последовательности
на каждом из множеств 
РЕШЕНИЕ
При
фиксированном 
при 
:
В
точках х = 1 и х = -1 f(x) = 0,
Т.е.
предельная функция 
.
Рассмотрим
при 
, т.е. сходимость равномерная на всем отрезке 
, т.е. на множествах Е1 и
Е2.
14.6
Исследовать равномерную сходимость ряда 
на множестве 
.
РЕШЕНИЕ
Применим
признак Дирихле. Для этого представим исходный ряд в виде:
Последовательность
bn(x) монотонно сходится к
0, т.к. 
, а последовательность с общим членом 
монотонно сходится к
0.
Оценим
последовательность частичных сумм ряда:
т.к. на 
, то 
имеет конечное
значение. Условия признака Дирихле выполнены.
Ряд сходится равномерно.
14.7
Найти область
существования функции 
и исследовать ее на
непрерывность.
РЕШЕНИЕ
С
учетом того, что 
, получаем:
Т.к.
ряд 
сходится, то 
- сходится
равномерно на R по мажорантному признаку. Можно
сделать вывод о непрерывности на R предельной функции.
14.8
Найти множество сходимости ряда 
и исследовать
дифференцируемость во внутренних точках множества.
РЕШЕНИЕ
При 
общий
член ряда не стремится к 0 – не выполняется необходимое условие сходимости, ряд
расходится.
Рассмотрим
ряд 
.
Применим
к нему признак Даламбера: 
. Этот ряд будет сходиться при 
.
Подставим
в ряд точки 
. Оба ряда будут сходиться, т.к. 
, а ряд с общим членом 
сходится.
Таким
образом, область сходимости 
.
Исследуем
дифференцируемость ряда:
Этот ряд сходится во всех точках Е (по признаку Даламбера см. выше).
Для любой внутренней точки х0 можно указать х = q; 
чтобы ряд 
сходился. При этом на
(-q; q)
ряд из производных сходится равномерно.
Таким
образом, исходный ряд сходится к дифференцируемой функции S(x).
14.9
Показать, что ряд 
допускает почленное интегрирование на [2, 10] и найти получаемый при
этом числовой ряд.
- бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия (сходится равномерно), первый член равен e-x, знаменатель
прогрессии равен е-х.
Можно сделать вывод о равномерной
сходимости ряда на [2, 10], значит на
этом отрезке возможно почленное интегрирование ряда:
14.10
Используя известные разложения элементарных
функций и методы дифференцирования и интегрирования, разложить функцию 
в степенной ряд с
центром в точке х0
= 0. Найти радиус сходимости полученного ряда.
РЕШЕНИЕ
Заметим, что 
Обозначим
.
Тогда: 
Известно разложение 
Для
нашего случая получаем: 
Окончательно: 
Для ряда 
, радиус сходимости 
, для 
Ниже представлены графики исходной функции и ее разложения в ряд. На первом рисунке для 10 первых членов ряда, на втором рисунке – для 100.
рис.1
10 первых членов ряда
рис.2
100 членов ряда
14.11
Вычислить производную функции 
РЕШЕНИЕ
Подынтегральная функция и ее производная по у непрерывны при любых х и у, пределы
интегрирования непрерывно дифференцируемы, так что применим общую формулу:
14.12
Исследовать сходимость интеграла 
РЕШЕНИЕ
Интеграл имеет неограниченную область (∞) и неограниченность функции при
х = 0.
Исходный интеграл сходится если сходятся оба интеграла, входящие в сумму.
Рассмотрим первый интеграл:
При 
этот интеграл
расходится, значит расходится и исходный интеграл.
14.13
Исследовать равномерную сходимость
интеграла 
на множествах
а) 
б) 
Применим признак Абеля-Дирихле.
Для этого представим интеграл в виде:
- равномерная
ограниченность интеграла
монотонна и стремится
к 0 равномерно на 
т.к. 
Условия признака Абеля – Дирихле
выполнены, интеграл равномерно сходится на , а т.к. Е2 включает в себя Е1, то интеграл
равномерно сходится на обоих множествах.
14.14
Разложить в ряд Фурье периодическую
функцию, заданную на интервале 
, равном периоду, формулой
Начертить график суммы
ряда.
Функция периодична на
отрезке 
, значит разложение в ряд Фурье
имеет вид: 
Коэффициенты ряда вычисляются по
формулам:
=
;
При целых п 
;
С учетом этого имеем: 
=
При целых п ;
С учетом этого имеем: 
=
=
Ниже
представлены графики исходной функции и ее разложения
в ряд Фурье.
рис.3
График заданной функции и ее разложения в ряд Фурье (2 первых членa ряда)
рис.4
График заданной функции и ее разложения в ряд Фурье (10 первых членов ряда)
14.15
Разложите в ряд Фурье по косинусами синусам
кратных дуг функцию, заданную в полупериоде [0 ; p] формулой 
. Начертите график суммы ряда для каждого разложения.
Обратите внимание на порядок убывания коэффициентов Фурье обоих рядов:
объясните отличие в порядках, если оно имеется.
1)
Разложение по косинусам. Разложение соответствует продолжению на 
четным образом. По
условиям 
для любого п.
Для четных п 
, для нечетных 
Разложение
имеет вид: 
рис. 4
График заданной функции и ее разложения по косинусам.
2)
Разложение по синусам. 
соответствует
продолжению нечетным образом (в 0 функция разрывна).
Разложение имеет вид: 
Что касается отличия
порядков убывания коэффициентов двух разложений, то в первом случае они убывают
пропорционально , а во втором- пропорционально , что объясняется большей гладкостью четного продолжения.
рис.5
График заданной функции и ее разложения по синусам
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Как делается переход к параметру в
криволинейных интегралах 1-го и 2-го рода?
ОТВЕТ:
- интеграл 1-го рода
- интеграл 2- го
рода
2. Чем отличаются формулировки условий
независимости интеграла от пути интегрирования в двумерном и трехмерном
случаях?
ОТВЕТ:
В
двумерном случае для интеграла вида 
условия имеют вид:
В
трехмерном случае для интеграла вида 
условия имеют вид:
3. Как
выбирается знак в двойном интеграле по проекции участка поверхности при
вычислении поверхностного интеграла 2-го рода?
ОТВЕТ:
Знак
в двойном интеграле выбирается такой же, какой имеет косинус между внешней
нормалью к поверхности и нормалью к плоскости, содержащей проекцию участка
поверхности.
4. Что
общего и отличного друг от друга в понятиях поточечной и равномерной сходимости
функциональных последовательностей?
ОТВЕТ:
Последовательность
называется сходящейся
на Е0 к функции f(x), если
Это определение поточечной
сходимости, в каждой точке независимо от остальных. Значение п0
зависит от 
и от х. Если же существует п0,
обладающее указанным свойством при любом х из Е0, то такая
сходимость называется равномерной.
5. Сформулируйте критерий Коши равномерной
сходимости последовательностей и рядов.
ОТВЕТ:
Для ряда:
Чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве Е, необходимо
и достаточно чтобы для каждого 
существовал такой
номер п0, чтобы для любого п>n0, любого 
и любого натурального k выполнялось условие:
Для последовательности:
Чтобы последовательность fn(x) равномерно сходилась на
множестве Е к некоторой функции необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой
номер п0, чтобы для любого п>n0, k>n0 (k>n) и любого выполнялось неравенство
6. Может ли последовательность функций,
разрывных на отрезке [a, b], сходиться
на нем равномерно к непрерывной функции? Рассмотрите на [0, 1] 
, где
ОТВЕТ:
Да,
может. В предложенном примере функция 
, так что на R последовательность
сходится (причем равномерно) к непрерывной функции 
. При этом функции разрывны в каждой точке (в любой сколь угодно малой
окрестности рационального числа найдется иррациональное).
7. Может ли последовательность функций,
непрерывных на отрезке [a, b], равномерно
сходиться на нем к функции разрывной?
ОТВЕТ:
Нет,
т.к. это противоречит теореме о непрерывности функции: Если последовательность непрерывных на Е функций равномерно сходится на Е к функции 
, то и
функция непрерывна на Е.
8. Пусть даны три ряда:
Какие из нижеследующих
утверждений верны?
(a) Если (1) и (2) сходятся равномерно, то (3)
сходится равномерно.
(b) Если (1) и (2) сходятся неравномерно, то
(3) сходится неравномерно.
(c) Если (1) сходится равномерно, а (2) –
неравномерно, то (3) – неравномерно.
(d) Если (1) сходится равномерно, а (2) –
неравномерно, то (3) – равномерно.
ОТВЕТ:
Верны
утверждения (а) и (b)
9. Какой вид имеют множества сходимости и
равномерной сходимости степенного ряда?
ОТВЕТ:
В
соответствии с теоремой Коши-Адамара:
Для степенного ряда 
рассмотрим
последовательность 
, тогда
1. Если bn –
неограниченная последовательность, то ряд сходится всюду, кроме
х = 0.
2. Если bn ограничена и 
, то ряд сходится на 
, где R=1/B.
3. Если 
то ряд сходится на всей оси.
В то же время:
Какое бы число r (0<r<R) ни взять, ряд сходится равномерно и
абсолютно на
X=[-r; r], при этом
сумма ряда на Х непрерывна.
10. В каких случаях функциональные ряды
допускают почленное интегрирование и
дифференцирование?
ОТВЕТ:
Если
функции 
непрерывны на отрезке 
и ряд 
равномерно сходится на
этом отрезке, то этот ряд можно интегрировать почленно,
а если функции непрерывно
дифференцируемы на этом отрезке, а сам ряд сходится хотя бы в одной точке
отрезка , то ряд можно почленно
дифференцировать.
11. Может ли интеграл от неограниченной
функции сходиться равномерно? абсолютно?
ОТВЕТ:
Несобственный
интеграл 2-го рода (от неограниченной) функции может сходиться
абсолютно, если сходится интеграл 
. Равномерная сходимость невозможна, т.к. невозможно указать
такое , которое ограничивало бы подынтегральную функцию в
окрестности точки разрыва (функция там неограниченна), т.е. невозможно
выполнить требование критерия Коши для интегральных сумм, сводящихся к
несобственному интегралу.
12. Возможна ли ситуация, когда 
сходится, а 
расходится?
ОТВЕТ:
Существует
теорема, что если существует предел 
то интегралы и сходятся и
расходятся одновременно. При условии d = 1, т.е. условия теоремы выполнены.
13. Дайте определение равномерной
сходимости собственного и несобственного интеграла по параметру.
ОТВЕТ:
Для
собственного интеграла по параметру у
функции 
:
Для равномерной сходимости на Х семейства
функций к функции 
необходимо и
достаточно чтобы
Для
несобственного интеграла:
Несобственный интеграл 
сходится равномерно на 
, если для произвольного найдется такая
окрестность 
, что для любого числа 
и любого 
справедливо
неравенство 
.
14. Что такое тригонометрический ряд Фурье,
как находятся его коэффициенты?
ОТВЕТ:
Тригонометрический
ряд Фурье это ряд вида:
Коэффициенты ряда вычисляются по
формулам:
Здесь - функция, периодическая с периодом 2l.
15. Какие функции можно разложить в
тригонометрический ряд Фурье? Как сумма ряда связана с разлагаемой функцией?
ОТВЕТ:
В принципе, ряды Фурье применимы для периодических функций, однако, это ограничение может быть снято путем введения вспомогательной периодической функции, повторяющую заданную функцию на участке разложения в ряд.
При
этом предполагается, что для функции выполнено условие существования
собственного или несобственного интеграла 
. Не исключено, что поставленная задача не имеет решения –
даже при непрерывности функции ряд Фурье может оказаться расходящимся в точках
принадлежащих отрезку разложения, однако для большинства непрерывных
периодических функций ряд Фурье сходится и его сумма равна данной функции.
Разрывные
функции также могут быть разложены в ряд Фурье, но в точках разрыва сумма ряда
может отличаться от функции.