ЗАДАНИЕ 2а

Вычислить производную функции

Проверка в системе Maple:

>

ЗАДАНИЕ 2б

Вычислить производную функции

Проверка в системе Maple:

>

ЗАДАНИЕ 2в

Вычислить производную функции

Проверка в системе Maple:

>

ЗАДАНИЕ 2г

Вычислить производную функции

Проверка в системе Maple:

>

ЗАДАНИЕ 3а

Исследовать функцию f(x) и построить ее график

1) Область определения .

2) Функция непериодическая.

3) Четность/нечетность - функция общего вида.

4) Точки пересечения с осью ОХ:

y = 0

c осью OY: х = 0 ; ;

5) Экстремумы, возрастание, убывание

x
y’	+	-	+
y	возрастание	убывание	возрастание

6) Выпуклость/вогнутость

7) Вертикальных асимптот нет

- следовательно, наклонных асимптот тоже нет.

8) График.

ЗАДАНИЕ 3б

Исследовать функцию g(x) и построить ее график

1) Область определения .

2) Функция непериодическая.

3) Четность/нечетность - функция общего вида.

4) Точки пересечения с осью ОХ:

y = 0 x = 2

c осью OY: х = 0 ; ;

5) Экстремумы, возрастание, убывание

x
g’	-	+
g	убывание	возрастание

6) Выпуклость/вогнутость

7) Вертикальных асимптот нет

- следовательно наклонных асимптот тоже нет.

8) График.

ЗАДАНИЕ 4а

Вычислить неопределенный интеграл

Проверка в системе Maple:

>

ЗАДАНИЕ 4б

Вычислить неопределенный интеграл

Проверка в системе Maple:

>

ЗАДАНИЕ 4в

Вычислить неопределенный интеграл

Проверка в системе Maple:

>

ЗАДАНИЕ 4г

Вычислить неопределенный интеграл

Проверка в системе Maple:

>

ЗАДАНИЕ 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и g(x)

Построим графики функций и найдем их точки пересечения.

Точки пересечения:

Площадь фигуры, ограниченной линиями находится по формуле:

Проверка в системе Maple:

>

ЗАДАНИЕ 6

Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух различных частных решений данного уравнения

Проверка в системе Maple:

>

Ниже представлены графики двух частных решений уравнения.

ЗАДАНИЕ 7

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанному условию.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Составим и решим соответствующее однородное уравнение:

Это общее решение однородного уравнения.

Решение исходного уравнения будем искать в виде:

Для определения С(х) подставим этот результат в исходное уравнение.

Общее решение:

Подставим начальные условия:

Искомое частное решение:

Проверка в системе Maple:

>

Ниже показан график интегральной кривой:

ЗАДАНИЕ 8

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанному условию.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Составим и решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Для этого воспользуемся формулой для правой части специального вида первого типа ():

В нашем случае:

Для определения коэффициента А подставим частное решение в исходное дифференциальное уравнение:

Общее решение исходного уравнения находим как сумму общего решения однородного уравнения и частого решения неоднородного:

Для нахождения частного решения подставим начальные условия:

Итого, частное решение:

Проверка в системе Maple:

>

Ниже показан график интегральной кривой:

ЗАДАНИЕ 9

Исследовать ряд на сходимость

Этот ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимое условие сходимости:

ЗАДАНИЕ 10

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Для определения интервала сходимости воспользуемся признаком Даламбера.

Как видно, радиус сходимости равен 8

Для того, чтобы исследовать сходимость ряда на границах интервала, рассмотрим ряды:

и

1) , т.к. итоговая степень числителя больше степени знаменателя. Таким образом, не выполняется необходимый признак сходимости и ряд расходится.

2) - этот ряд тоже расходится, т.к. модуль общего члена ряда не стремится к нулю (это показано выше), т.е. нарушается первое условие признака сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.

Итого: Радиус сходимости ряда равен 8, интервал сходимости .