Задания 19 ЕГЭ 2020 - образцы вариантов с решениями

  

19.1  В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?


 
19.2 На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 282?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 390?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 2226?


 
19.3 На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.

К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?


 

 
19.4 Десять мальчиков и семь девочек ходили в лес за грибами. Оказалось, что любые три мальчика собрали меньше грибов, чем любые две девочки, но любые три девочки собрали меньше грибов, чем любые пять мальчиков.
а) Могла ли какая-нибудь девочка собрать меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?
б) Могло ли у всех детей быть разное количество грибов?
в) Какое наименьшее число грибов они могли собрать все вместе?


 

 
19.5 Сорок гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 6 г, 10 г и 14 г.?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 8,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первонально в первой куче?


 

 
19.6 На доске написано единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма: 1+11+11+111+11+1+1=147
а) Могла ли сумма равняться 150, если n=60?
б) Могла ли сумма равняться 150, если n=80 ?
в) Чему могло равняться n , если полученная сумма чисел равна 150?


 

 
19.7 По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек – разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть своих конфет. После этого у любых двух девочек оказалось одинаковое число конфет, а у любых двух мальчиков – разное. Известно, что каждый из детей отдал натуральное число конфет.
а) Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек?
б) Может ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?


Материалы дополняются...