21.
а) В первом походе количество мальчиков было меньше
2/3 количества девочек – участниц этого похода.
Тем более оно меньше 2/3 общего количества девочек
– учениц класса. То же верно для мальчиков – участников второго похода.
Поскольку каждый ученик был хотя бы в одном походе, всего мальчиков в
классе меньше 4/3 количества девочек.
Следовательно, мальчиков в этом классе не больше 4/7
общего числа учеников.
б) Пусть bi и gi – число мальчиков и
девочек в i-м походе, b и g – число мальчиков и
девочек на общей встрече. По условию bi = αi(bi
+ gi), откуда (1 – αi)bi
= αigi ≤ αig, поэтому
если все αi < 1, то
b≤∑bi≤∑
αi /(1- αi )g=g≤∑
αi /(1- αi )
откуда
b(1+∑
αi /(1- αi ) )≤(b+g)
∑
αi /(1- αi )
Итак, если αi < 1 для всех i, то мальчики
будут составлять не более
c/(1+c)
от общего числа участников походов, где
c=∑
αi /(1- αi )
Докажем, что эта граница может достигаться. Для этого требуется, чтобы
все написанные неравенства превратились в равенства. Легко понять, что
это будет так, если девочки во всех походах были одни и те же, а
мальчики – разные, то есть каждый из мальчиков был только в одном
походе. Покажем, что это может быть при любых αi.
Пусть αi /(1- αi )=mi/N
(числа αi и, следовательно, αi /(1- αi
) рациональны; мы можем записать αi /(1- αi
) в виде дробей с одним и тем же знаменателем). Тогда, если в
i-м походе N (одних и тех же) девочек и mi
(разных) мальчиков, то на встречу придут
M=∑mi
мальчиков и N девочек; отношение M к N как раз
равно c, а отношение M к M + N равно c/(1+c) .
Если же αj = 1 для некоторого j (хотя бы
для одного), то мы уже не можем дать никакой отличной от 1 оценки сверху
для доли мальчиков на общей встрече. Действительно, если взять число
участников j-го похода очень большим (все они – мальчики), то
долю мальчиков на общей встрече можно сделать сколь угодно близкой к 1
Другое решение... |

http://www.obrnadzor.gov.ru |
"В целях организованного
проведения единого государственного экзамена (далее - ЕГЭ) в
2015 году Федеральной службой по надзору в сфере образования и
науки (далее - Рособрнадзор) запланированы следующие изменения в
процедуре проведения ЕГЭ
В соответствии с Концепцией развития математического образования
в Российской Федерации ЕГЭ по математике в новом учебном году
будет разделен на два уровня: базовый и профильный. В 2015 году
выпускники смогут выбрать либо оба уровня одновременно, либо
только один из уровней. Для получения аттестата о среднем общем
образовании, а также для поступления в образовательную
организацию высшего образования, где в перечне вступительных
испытаний отсутствует учебный предмет "Математика", достаточно
сдать экзамен по математике на базовом уровне. Для поступления в
образовательную организацию высшего образования, в которой
математика включена в перечень вступительных испытаний,
необходимо сдавать экзамен по учебному предмету "Математика" на
профильном уровне ...
Обучающимся, получившим на ЕГЭ неудовлетворительные результаты
более чем по одному обязательному предмету, либо получившим
повторно неудовлетворительный результат по одному из этих
предметов, а также не преодолевшим минимальный порого по
предметам по выбору, будет предоставлена возможность сдать
экзамен по соответствующему учебному предмету в дополнительные
сроки в сентябре 2015 года в специализированных центрах не более
одного раза. Обращаем внимание, что в 2015 году проведение ЕГЭ в
июле не предусмотрено. Выпускникам прошлых лет предлагается
сдать экзамены в апреле 2015 года. "
Письмо Федеральной службой по
надзору в сфере образования и науки от 16 сентября 2014 №02-624
|
|