Тренировочный вариант №85

Варианты публикуются еженедельно в воскресенье, ответы - в пятницу.

 

 

Скачать документ в формате pdf

alt : test.pdf

 

Таблица соответствия первичного и тестового баллов 2014 г.

Первичный балл

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Тестовый балл

0 7 13 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 70 72 73 75 77 79 80 82 84 86 88 89 91 93 95 96 98 100

 

                 Ответы:                                  Обсуждение задач...                            Решения от egetrener...                                      

 

Для проверки введите ответ в поле и нажмите "Проверить".

Исправлять ответы можно неограниченное число раз

 

Задание

Ответ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

 

 

 

 

 

 

 

21. а) Ясно, что после четного числа прыжков лягушка может находиться только в вершинах A, C или E. Обозначим через ak, ck, ek число путей длины 2k, ведущих из A в A, C и E соответственно. В силу симметрии  ck = ek.  Легко видеть, что выполняются равенства ck+1 = ak + 3ck,   ak+1 = 2ak + 2ck.
Отсюда ck+2 = ak+1 + 3ck+1 = 2ak + 2ck + 3ck+1 = 2(ck+1 – 3ck) + 2ck + 3ck+1 = 5ck+1 – 4ck.
Из начальных условий   c0 = 0,  c1 = 1,   находим ck=(4k-1)/3     (это нетрудно доказать по индукции).

б) Сохраним обозначение ck из п. а) (теперь это число будет другим). Обозначим через bk число путей длины  2k – 1,  ведущих из A в B. Тогда   bk+1 = 3bk  (за два прыжка можно двумя способами вернуться из B в B и одним способом попасть из B в F). Но   ck = bk,   значит, ck+1 = 3ck  при  k > 0. 

По-прежнему, c1 = 1,  следовательно,   ck = 3k–1.