Тренировочный вариант №100. Решения заданий 15-21.

  



Решения публикуются по материалам обсуждения на форуме

15


alt : test.pdf

 


16

 

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина высоты, опущенной из вершины S на основание ABCD, равна . Через точку касания с боковой гранью SAB вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой АВ проведена плоскость, проходящая через ближайшую к вершине S точку шара.

а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.

б) Найдите площадь сечения, если АВ=.

 

 


alt : test.pdf

 


17

 


alt : test.pdf

 

 



18

 

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек В и С опущены перпендикуляры на прямую AD. Они пересекают прямые  АС и BD соответственно в точках E и F.

а) Докажите, что BCEF – ромб

б) Найдите отношение площади четырехугольника BCEF к площади вписанного в него круга, если BF:CE=3:4

 


alt : test.pdf

 

 


19

 

В родном городе Аристарха Луков-Арбалетова количество людей, пользующихся железной дорогой, постоянно. Из этих людей свой проезд оплачивают 10%, а ещё 10% выплатой штрафов  за безбилетный проезд доводят получаемую РЖД (руководством железной дороги) прибыль до 100% от ожидаемой.

 Поскупившись платить контролёрам, взимавшим штрафы, РЖД ограничило вход на все станции турникетами, стоимость установки которых составила 100% от годовой прибыли. Цена проезда выросла на 50%, поскольку РЖД планировало окупить турникеты за 2 года, а контролёры были уволены.

 Однако 10% пассажиров возмутились проявленным со стороны РЖД недоверием и повышением цен на билеты и перестали пользоваться железной дорогой. Остальные 90% пассажиров продолжили ездить, и в первый месяц все они оплачивали свой проезд. На второй месяц в кассы РЖД не попали деньги ещё 10% от первоначального числа клиентов, так как их физическая подготовка оказалась достаточной для беспрепятственного преодоления турникетов. А в связи с появлением дырок в заборах около станций с каждым последующим месяцем этот процент стал увеличиваться на 2 и рос бы до тех пор, пока все бывшие зайцы не нашли бы способ ездить в обход турникетов.

 Поэтому каждые полгода с момента установки турникетов РЖД тратит 15% ожидаемой месячной прибыли на ремонт заборов, из-за чего процент зайцев вновь возвращается к 10 от первоначального числа всех пользователей железной дороги, и затем ситуация с двухпроцентным приростом зайцев повторяется.

 За какой срок окупится и окупится ли установка турникетов, если срок их работы - 10 лет, а контролёров РЖД так и не наймёт?

 


 

Пусть N - планируемая прибыль в месяц.
После установки турникетов по месяцам:
1- 0,9N*1.5, 2- 0.8N*1.5, 3- 0.78N*1.5, 4- 0.76N*1.5, 5- 0.74N*1.5, 6- 0.72N, потом ремонт -0,15N
Итого выручка: 6,9N, на турникеты 0,9N
7- 0.8N*1.5, 8- 0.78N*1.5, 9- 0.76N*1.5, 10- 0.74N*1.5, 11- 0.72N*1.5, 12- 0.7N*1.5, потом ремонт -0,15N
Итого выручка: 6,6N, на турникеты 0,6N

Получаем за 19 полугодий прибыль: 0,9N+18*0,6N=11.7N
Следующий месяц: 0.8*N*1.5=1.2N, на турникеты 0.2N
Следующий месяц: 0.78*N*1.5=1.17N, на турникеты 0.17N Всего будет 12,07N - окупилось.

Итого: 19*6+2=116 месяцев = 9 лет и 8 месяцев

 

 



20

 


alt : test.pdf

 

 


21

 

Произведение трёх натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию, является делителем некоторого числа вида , где  .

а) Существует ли такая арифметическая прогрессия  с разностью 12.

б) Существует ли такая арифметическая прогрессия  с разностью 10 или 11

 


 

 

Произведение равно (a-d)a(a+d)
a) d=12, a=13, (a-d)a(a+d)=13*25=18^2+1
б) Числа a, a-10, a+10 (равно как и числа a, a-11, a+11) дают попарно различные остатки от деления на 3.
Значит, среди них есть кратное 3, произведение кратно 3.
Если это произведение равно n^2+1, то n^2 даёт остаток 2 при делении на 3, что никак не возможно (n имеет остатки 0, 1 или 2, n^2 даёт остатки 0 или 1).

 



Эксперт, проверяющий работу, располагает критериями оценивания решений заданий С1–С6, включающими:
1) формулировку задания с развёрнутым ответом; 2) одно из возможных решений задания; 3) содержание критерия.
Следует помнить, что, проверяя решения заданий с развёрнутым ответом, эксперт оценивает математическую грамотность представленного решения. Эксперт не должен предъявлять особых требований к форме записи и к степени подробности решения, но в то же время должен следить за правильностью и обоснованностью математических утверждений, используемых экзаменуемым. Максимальный балл за задания: С1 – 2 балла, С2 – 2 балла, С3 – 3 балла, С4 – 3 балла, С5 – 4 балла, С6 – 4 балла. Если экзаменуемый не приступал к задаче, то в протокол ставится «х». Если же экзаменуемый приступил к выполнению задания (даже если только переписал условие или написал номер задания), то решение должно быть оценено в соответствии с критериями проверки соответствующего задания.