С6.
1) Пусть через t минут
на ленте лежат m(t) деталей
типа A и k(t) деталей
типа B .
Так как m(t) и k(t) имеют
разную четность, то |m(t)-k(t)|может
принимать только значения 1, 3, 5, Так как каждую минуту добавляется
деталь того типа, которого на ленте меньше, а убирается произвольная
деталь, то |m(t)-k(t)| либо
не изменяется, либо уменьшается. Так как по условию исходное
расположение повторяется через некоторое число n минут
(а значит, и через 2n , 3n и
т.д.), то получаем, что величина |m(t)-k(t)| не
изменяется при всех t .
2) Допустим, что |m(t)-k(t)|≥ 3 .
Так как |m(t)-k(t)| не
изменяется, а m(t) и k(t )
могут меняться только на 1, то m(t) и k(t) также
не изменяются. Тогда добавляется всегда деталь одного и того же типа и
при этом деталь того же типа всегда снимается. Это означает, что исходно
на ленте все детали одного типа и деталь того же типа добавляется. Это
противоречит правилу подготовки следующей детали. Следовательно, |m(t)-k(t)|=1 при
всех t .
3) Пусть a1 , .., a75 , a76 , a77 ,
– типы деталей ( A или B ),
которые стояли исходно на конвейере и добавлялись в3] последующие
моменты. Мы показали, что при любом i среди ai+1 , .., ai+75 38
раз встречается A и
37 раз встречается B и
тогда ai+76 =
B , либо все наоборот. В
любом случае при каждом i среди ai+1 , .., ai+76 A и B встречаются
по 38 раз.
4) Так как среди ai , .., ai+75 A и B встречаются
по 38 раз и среди ai+1 , .., ai+76 A и B встречаются
по 38 раз, то ai+76 =
ai (при каждом i ).
Таким образом 76 – период последовательности a1 , a2 , ..,a75 , a76 , a77 ,
5) Пусть через n минут
ситуация на конвейере впервые повторилась. Тогда n –
период последовательности a1 , a2 , .., a75 , a76 , a77 ,
Обратно, если q –
период этой последовательности, то через q минут
ситуация на конвейере повторяется. Следовательно, n –
минимальный период последовательности a1 , a2 , .., a75 , a76 , a77 ,
6) Известно (и легко показать), что минимальный период является
делителем любого периода. Следовательно, 76 делится на n ,
то есть период длины n укладывается
целое число раз на отрезке последовательности длины 76. Так как на любом
отрезке длины 76 детали A и B
встречаются одинаковое число раз, то это же верно и для периода
длины n .
Отсюда следует, что n –
четное число и возможно только n
= 2 ,
4, 38, 76.
7) Пусть n = 2k и
76 делится на n .
Построим бесконечную последовательность, в которой сначала k раз
стоит A ,
затем k раз
стоит B и
затем все повторяется с периодом 2k .
Эта последовательность будет порождаться в нашей задаче, если в качестве
исходного расположения деталей на конвейере взять первые 75 элементов
последовательности, причем впервые исходная ситуация повторится ровно
через 2k минут.
Таким образом, все значения n
= 2 ,
4, 38, 76 могут реализоваться.
Ответ
а) 2; б) 2, 4, 38, 76.
Автор: Алексеев В.Б.
|