Тренировочный вариант №76

Варианты публикуются еженедельно в воскресенье, ответы - в пятницу.

Ответы:                                                                       Обсуждение задач...                                                   

С6. 1) Пусть через t минут на ленте лежат m(t) деталей типа A и k(t) деталей типа B . Так как m(t) и k(t) имеют разную четность, то |m(t)-k(t)|может принимать только значения 1, 3, 5, Так как каждую минуту добавляется деталь того типа, которого на ленте меньше, а убирается произвольная деталь, то |m(t)-k(t)| либо не изменяется, либо уменьшается. Так как по условию исходное расположение повторяется через некоторое число n минут (а значит, и через 2n , 3n и т.д.), то получаем, что величина |m(t)-k(t)| не изменяется при всех t . 
2) Допустим, что |m(t)-k(t)|≥ 3 . Так как |m(t)-k(t)| не изменяется, а m(t) и k(t ) могут меняться только на 1, то m(t) и k(t) также не изменяются. Тогда добавляется всегда деталь одного и того же типа и при этом деталь того же типа всегда снимается. Это означает, что исходно на ленте все детали одного типа и деталь того же типа добавляется. Это противоречит правилу подготовки следующей детали. Следовательно, |m(t)-k(t)|=1 при всех t . 
3) Пусть a₁ , .., a₇₅ , a₇₆ , a₇₇ , – типы деталей ( A или B ), которые стояли исходно на конвейере и добавлялись в3] последующие моменты. Мы показали, что при любом i среди a_i+1 , .., a_i+75 38 раз встречается A и 37 раз встречается B и тогда a_i+76 = B , либо все наоборот. В любом случае при каждом i среди a_i+1 , .., a_i+76 A и B встречаются по 38 раз. 
4) Так как среди a_i , .., a_i+75 A и B встречаются по 38 раз и среди a_i+1 , .., a_i+76 A и B встречаются по 38 раз, то a_i+76 = a_i (при каждом i ). Таким образом 76 – период последовательности a₁ , a₂ , ..,a₇₅ , a₇₆ , a₇₇ , 
5) Пусть через n минут ситуация на конвейере впервые повторилась. Тогда n – период последовательности a₁ , a₂ , .., a₇₅ , a₇₆ , a₇₇ , Обратно, если q – период этой последовательности, то через q минут ситуация на конвейере повторяется. Следовательно, n – минимальный период последовательности a₁ , a₂ , .., a₇₅ , a₇₆ , a₇₇ , 
6) Известно (и легко показать), что минимальный период является делителем любого периода. Следовательно, 76 делится на n , то есть период длины n укладывается целое число раз на отрезке последовательности длины 76. Так как на любом отрезке длины 76 детали A и B встречаются одинаковое число раз, то это же верно и для периода длины n . Отсюда следует, что n – четное число и возможно только n = 2 , 4, 38, 76. 
7) Пусть n = 2k и 76 делится на n . Построим бесконечную последовательность, в которой сначала k раз стоит A , затем k раз стоит B и затем все повторяется с периодом 2k . Эта последовательность будет порождаться в нашей задаче, если в качестве исходного расположения деталей на конвейере взять первые 75 элементов последовательности, причем впервые исходная ситуация повторится ровно через 2k минут. Таким образом, все значения n = 2 , 4, 38, 76 могут реализоваться. 

Ответ а) 2; б) 2, 4, 38, 76.                                                                                                                                                                         Автор: Алексеев В.Б.