Тренировочный вариант №62

Варианты публикуются еженедельно в воскресенье, ответы - в пятницу.

 

 

Скачать документ в формате pdf

alt : test.pdf

Ответы:                                                                            Обсуждение задач...    Решения от egetrener...

 

Задание

Ответ

В1

13

В2

1259,5

В3

0,8

В4

700

В5

36

В6

0,25

В7

5

В8

28

В9

0,5

В10

46656

В11

2

В12

0,81

В13

2

В14

10

В15

9

 

 
 

C6. а) Первое решение. Разделим сундуки на три пары. Общее количество монет в каждой паре сундуков чётно, поэтому чётно и число монет во всех шести сундуках. Теперь разделим сундуки на две тройки. Число монет в каждой тройке кратно трём, поэтому кратно трём и общее число монет во всех сундуках. Итак, это общее число монет делится на 2 и 3, а значит, и на 6 (так как 2 и 3 взаимно просты). Следовательно, все монеты можно разложить поровну по 6 сундукам.
Второе решение. Для начала заметим, что число монет во всех сундуках имеет одинаковую чётность. Ведь поделить поровну содержимое двух сундуков с разной чётностью монет нельзя.
Затем обратим внимание на то, что общее количество монет в первых трёх сундуках кратно трём. Если заменить сундук 3 на сундук 4, то делимость на 3 не нарушится. Это означает, что число монет в четвёртом сундуке даёт тот же остаток при делении на 3, что и в третьем. Таким же образом про любые два сундука можно доказать, что число монет в одном даёт тот же остаток при делении на 3, что и в другом. Поэтому остатки от деления всех этих чисел на 3 одинаковы.
Если числа дают одинаковые остатки при делении как на 2, так и на 3, то их разность делится на 2 и на 3, то есть делится и на 6. Это означает, что у любых двух (а значит, и у всех шести) чисел остатки при делении на 6 равны между собой. Сумма шести таких чисел будет кратна 6. Поэтому все монеты можно разложить поровну по всем сундукам.
б) Рассуждая так же, как в пункте а), можно доказать, что все восемь чисел, соответствующие количествам монет в сундуках, дают одинаковые остатки при делении на 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Значит, эти числа дают одинаковые остатки при делении на 420 (420 - это наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 4, 5, 6 и7). Но поскольку 420 не кратно 8, эти числа могут иметь различные остатки при делении на 8, что помешает поровну разложить монеты по восьми сундукам.
Например, в первом сундуке могла быть 421 монета, а в остальных семи - по одной. Тогда в двух сундуках в сумме либо 2, либо 422 монеты, оба числа чётные. В трёх сундуках в сумме либо 3, либо 423 монеты, каждое из этих чисел делится на 3 и т.д. В семи сундуках в сумме 7 или 427 монет. Оба числа делятся на 7. Однако общее число монет 428 на 8 не делится. То есть в этом случае на восемь сундуков разложить монеты поровну не получится.
С другой стороны, во всех сундуках изначально могло храниться, например, поровну монет. Поэтому точно ответить на вопрос, не зная, что лежит в сундуках, нельзя.
Ответ: а) можно; б) нельзя.                                                                                                                                                                            Источник: problems.ru

 

 

 Составление неограниченного числа вариантов ЕГЭ 2014 по новой версии демоварианта