Тренировочный вариант №61

Варианты публикуются еженедельно в воскресенье, ответы - в пятницу.

Ответы:                                     Обсуждение задач...                                          Решения от egetrener...

С6. а) Закон можно угадать, заметив, например, что пока число однозначное, оно удваивается, а потом — вроде нет. А то, что 10 переходит в 2, наводит на мысль, что удваивается не само число, а сумма его цифр. Итак, искомый закон обнаружен: ''Удвоенная сумма цифр''.

б) Легко заметить, что однозначных чисел, больших нуля, с требуемым свойством нет. Попробуем найти решение среди двузначных чисел. Если первая цифра двузначного числа равна a, а вторая равна b, то само число равно 10a + b. Имеем 10a + b = 2(a + b). Отсюда 8a = b, то есть a = 1,b = 8.

Можно показать, что других решений нет (идея: самое маленькое трёхзначное число — 100, а самая большая сумма трёх цифр 9 + 9 + 9 = 27). 

в) Заметим, что если число не меньше, чем трёхзначное, то его сумма цифр меньше самого числа. Значит, число будет уменьшаться, пока не станет двузначным или однозначным. Остаётся единственная опасность: попасть в ''неподвижную точку'' — 18. Но это в нашем случае невозможно, так как исходное число не делилось на 9

Ответ

а) Удвоенная сумма цифр; б) 18.