Тренировочный вариант №59

Варианты публикуются еженедельно в воскресенье, ответы - в пятницу. Задать вопросы и посмотреть решения можно на форуме.

 

 

Скачать документ в формате pdf

alt : test.pdf

Ответы:      Обсуждение задач...        

 

Задание

Ответ

В1

1

В2

474

В3

9

В4

311

В5

5

В6

0,91

В7

6

В8

31,25

В9

4

В10

8

В11

11

В12

60

В13

3

В14

31

В15

1,5

 

 

 

C6. Сначала докажем одно вспомогательное утверждение.
Пусть S(x) – сумма цифр натурального числа xN(x) – количество его цифр, бóльших 4. Тогда
S(2x) = 2S(x) – 9N(x).             (*)

   Представим, что мы складываем число x само с собой столбиком. Перенос единицы в очередной, (k+1)-й, разряд суммы происходит в том и только том случае, когда в k-м разряде числа x стоит одна из цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то есть число переносов равно N(x). При каждом переносе вместо десятки, которая входит в сумму  S(x) + S(x),  возникает единица, которая входит в S(2x), то есть S(2x) по сравнению с 2S(x) уменьшается на 9. Отсюда получаем (*).
   Теперь легко доказать утверждения задачи.

   а) Подставляя в (*) вместо x поочерёдно M и K и учитывая очевидные равенства  S(M) = S(K)  и  N(M) = N(K),  получим, что  S(2M) = S(2K).

   б) Заметим, что цифра i-го разряда числа x больше 4 в том и только в том случае, когда цифра (i+1)-го разряда числа 2x нечётна. ПоэтомуN(x) равно количеству нечётных цифр в числе 2x. Следовательно, для чисел M и K, составленных из одних и тех же цифр,  N(M/2) = N(K/2)  и в силу (*)    S(M/2) = ½ (S(M) + 9N(M/2) = ½ (S(K) + 9N(K/2)) = S(K/2).

   в) Числа 10M и 10K также отличаются только перестановкой цифр, поэтому согласно пункту б)   S(5M) = S(10M/2) = S(10K/2) = S(5K).

 

Тренинг-интенсив "Подготовка к ЕГЭ, этап второй: С1-С2".

Пришла пора готовиться к серьёзным испытаниям. Начинается тренинг-интенсив "Задачи С1-С2" Тренинг стартует 13 января, в понедельник в 20:00 по московскому времени. Лекции будут проходить по понедельникам, вторникам, средам и пятницам до конца января.В программе полуторачасовые увлекательные, нескучные и очень насыщенные online-занятия.

Будет проведено пять online-семинаров по решению заданий С1,

на которых Вы научитесь:
1) Легко решать все виды и типы тригонометрических уравнений
2) Мгновенно отбирать корни уравнения по данным признакам
3) Уверенно пользоваться с тригонометрической окружностью
4) Обходиться без труднозапоминаемых формул и шпаргалок
Кроме того, Вы получите записи уже проведённых видеолекций

Будет проведено семь online-семинаров по решению заданий С2,

на которых Вы научитесь:
1) Видеть необходимые углы и расстояния на сделанных чертежах
2) Геометрически правильно рассуждать при решении разных задач
3) Пользоваться признаками, свойствами и не путать их при этом
4) Находить расстояния между объектами различными способами
5) Применять векторный и координатный методы, если необходимо
Кроме того, Вы получите записи уже проведённых видеолекций


 

 Составление неограниченного числа вариантов ЕГЭ 2014 по новой версии демоварианта