Тренировочный вариант №59

Варианты публикуются еженедельно в воскресенье, ответы - в пятницу. Задать вопросы и посмотреть решения можно на форуме.

Ответы:      Обсуждение задач...        

C6. Сначала докажем одно вспомогательное утверждение.
Пусть S(x) – сумма цифр натурального числа x, N(x) – количество его цифр, бóльших 4. Тогда S(2x) = 2S(x) – 9N(x).             (*)

   Представим, что мы складываем число x само с собой столбиком. Перенос единицы в очередной, (k+1)-й, разряд суммы происходит в том и только том случае, когда в k-м разряде числа x стоит одна из цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то есть число переносов равно N(x). При каждом переносе вместо десятки, которая входит в сумму  S(x) + S(x),  возникает единица, которая входит в S(2x), то есть S(2x) по сравнению с 2S(x) уменьшается на 9. Отсюда получаем (*).
   Теперь легко доказать утверждения задачи.

   а) Подставляя в (*) вместо x поочерёдно M и K и учитывая очевидные равенства  S(M) = S(K)  и  N(M) = N(K),  получим, что  S(2M) = S(2K).

   б) Заметим, что цифра i-го разряда числа x больше 4 в том и только в том случае, когда цифра (i+1)-го разряда числа 2x нечётна. ПоэтомуN(x) равно количеству нечётных цифр в числе 2x. Следовательно, для чисел M и K, составленных из одних и тех же цифр,  N(^M/₂) = N(^K/₂)  и в силу (*)    S(^M/₂) = ½ (S(M) + 9N(^M/₂) = ½ (S(K) + 9N(^K/₂)) = S(^K/₂).

   в) Числа 10M и 10K также отличаются только перестановкой цифр, поэтому согласно пункту б)   S(5M) = S(^10M/₂) = S(^10K/₂) = S(5K).

Тренинг-интенсив "Подготовка к ЕГЭ, этап второй: С1-С2".

Пришла пора готовиться к серьёзным испытаниям. Начинается тренинг-интенсив "Задачи С1-С2" Тренинг стартует 13 января, в понедельник в 20:00 по московскому времени. Лекции будут проходить по понедельникам, вторникам, средам и пятницам до конца января.В программе полуторачасовые увлекательные, нескучные и очень насыщенные online-занятия.

 Составление неограниченного числа вариантов ЕГЭ 2014 по новой версии демоварианта