|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C6. а) Очевидно, что начиная со второй строчки, все числа в таблице не больше 1000. Кроме того, каждое число не больше написанного под ним. Поэтому сумма чисел в третьей строчке не меньше, чем во второй и т.д., и каждая из этих сумм не больше миллиона. Следовательно, поскольку все время суммы возрастать не могут, в каких-то соседних строчках суммы совпадут, а тогда совпадут и сами строчки. б) Докажем, что если в m-й строчке при m≥2, число отлично от написанного над ним, то оно не меньше, чем 2m-2 . Действительно, для m=2 это очевидно, так как все числа второй строки натуральные. Пусть это уже проверено для всех строк с номерами, меньшими m. Пусть в m-1-й строчке написано число а, а под ним написано число b, большее а. Тогда в m-1-й строчке написано b чисел, равных а. Ясно, что в m-2-й строчке будет написано несколько групп одинаковых чисел, по а в каждой группе, причем числа из разных групп различны. Отсюда вытекает, что b делится на а, то есть b≥2a. Кроме того, по крайней мере одно из чисел в этих группах отличается от а, а значит, по предположению индукции a≥2(m-1)-2 . Итак, b≥2a≥2m-2 . Наше утверждение доказано по индукции для всех m≥2. Если предположить, что 11-я строчка отлична от 12-й, то какое-то число в 12-й строчке будет больше, чем 212-2 =1024>1000, что невозможно. в) 0,1,2,2,4,4,4,4,…,256,…,256, 488,…,488 1,1,2,2,4,4,4,4,…,256,…,256, 488,…,488 2,2,2,2,4,4,4,4,…,256,…,256, 488,…,488 4,4,4,4,4,4,4,4,…,256,…,256, 488,…,488 ……………………………………………………………. 256,…………………………….,256,488,…,488 512,…………………………….,512,488,…,488 В первой строчке 0 и 1 встречаются по одному разу, 2 –два раза, 4 – четыре раза, 8 – восемь раз, …., 256-256 раз, 488-встречается 488 раз, в 11 строчке встречается 512 раз число 512 и 488 раз число 488 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
