|
Ответы на этот вариант: Обсуждение задач... Решения от egetrener... |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
С6 Один из радикалов обозначим через x и будем рассматривать всё выражение как многочлен P(x) (deg P = 2100). Делители P разобьём на две группы: в одну включаем те, в которых при x стоит знак "+", в другую — те, в которых при x стоит "–". Произведение одночленов первой группы обозначим через P1(x), произведение одночленов второй группы через P2(x), каждый степени 299 (в каждой группе встречаются всевозможные комбинации знаков всех слагаемых, кроме x). P1(–x) = P2(x) в силу определения этих многочленов. P1(x) = P2(x), поскольку при замене всех знаков при слагаемых в группе множителей, составляющих P1(x), выражение не изменится, так как скобок чётное число, в то же время, P1 превратится в P2, так как в скобках стоит теперь x со знаком "–". Отсюда получаем, что P1(x) = P1(–x), т. е. P1 — чётная функция. Если многочлен есть чётная функция, то он содержит только чётные степени x и его можно рассматривать как многочлен от x2. Докажем, чтоP1 есть чётная функция и от остальных радикалов. Обозначим радикал, отличный от x, через y и будем теперь считать P1 функцией от y. Разложим P1 на два сомножителя Q1 и Q2, в первый из которых входят делители P1 с коэффициентом 1 при y, а во второй — с коэффициентом –1. Очевидно, что Q1(–y) = Q2(y). Тогда P1(–y) = Q1(–y)Q2(–y) = Q2(y)Q1(y) = P1(y). Итак, после раскрытия скобок в выраженииP1 все радикалы будут встречаться в чётных степенях, так что P1 — целое число. P2 — это то же самое число. Итак, всё произведение есть полный квадрат. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
