Скачать документ в формате pdf

alt : test.pdf

 

Обсудить задания, посмотреть подробные решения части С, задать вопросы можно на форуме

 

 

Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Задание

Ответ

В1

8

В2

30

В3

10

В4

2,75

В5

-1

В6

1

В7

2

В8

5

В9

2

В10

0,07

В11

2

В12

100

В13

750

В14

-6

 

С6 Будем называть кучки с 1, 2, 3, 4 камешками соответственно единичка, двойка, тройка, четвёрка.

   а) Дождемся, когда станет 70 кучек. Cреди них найдется 40 единичек (в противном случае в кучках не менее  2·39 + 31 = 109  камешков).

Если их отбросить, то останется 30 кучек, содержащих 60 камней.

   б) Докажем по индукции, что при  a = 2, 3, ..., 20  у нас в некоторый момент найдётся  60 + 2a  камней в  20 + a  кучках.

   База  (a = 20).  После 40-го хода есть 100 камней в 40 кучках.

   Шаг индукции. Пусть  a > 2  и имеется  60 + 2a  камней в  20 + a  кучках. Среди них найдется двойка или две единички, поскольку 

3(19 + a) + 1 > 60 + 2a.  Отбросим их и во втором случае дождёмся, когда Костя разобьёт одну из оставшихся кучек на две. В результате a уменьшится на 1.

   При  a = 2  имеем 64 камня в 22 кучках.

   Покажем, что мы можем набрать сейчас 4 камня двумя или более кучками. Пусть это не так. Если есть единичка, то камней хотя бы

1 + 1 + 1 + 4·19 > 64,  если нет, то хотя бы  2 + 3·21 > 64.  Противоречие.

   Отбросив эти 4 камня, мы получим 60 камней в 20 или менее кучках. Осталось дождаться, когда этих кучек станет ровно 20.

   в) Пусть Костя отделяет от самой большой кучи по тройке, пока не останется четвёрка. До сих пор была одна куча, где число камешков не делилось на 3. Сумма в любых 19 кучках с её участием не делилась на 3, а без неё не превосходила 57, то есть ни так ни этак не равнялась 60. Затем Костя делит четвёрку на две двойки. Теперь и в дальнейшем каждая кучка не больше тройки, поэтому в любых 19 кучках не больше 57 камней.

Автор: Кноп К.

 

Уважаемые выпускники и учителя!
 

Знакомьтесь - диски с видеоуроками ЕГЭ-тренера! 
150 видеоуроков высочайшего качества по всем темам.

Диск С1 - С3: http://yadi.sk/d/HT3T0cxj2xU6j
Диск С4 - С6: http://yadi.sk/d/p-jfUZFN2xU9N (Разархивируйте и запустите Disc.exe ) 
В этих демоверсиях доступно по 6 видеоуроков - это подарок Вам.

 

Полные версии дисков Вы можете купить в нашем Магазине Математики.
P.S. Обязательно покажите диски своим родителям!