Скачать документ в формате pdf

alt : test.pdf

 

Обсудить задания, посмотреть подробные решения части С, задать вопросы можно на форуме

 

 

Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

 

Задание

Ответ

В1

2

В2

6

В3

8

В4

2,5

В5

-1

В6

7

В7

22

В8

7

В9

450

В10

0,035

В11

4

В12

751

В13

86,4

В14

-3,5

 

 

 

С6 (a).  Обозначим (Y,G,R) упорядоченную тройку чисел, характеризующую состояние мешка на данный момент, т.е. количество жёлтых (yellow), зелёных (green) и красных (red) шаров в мешке.

Изначально мешок находится в состоянии (1,1,2).

Если в первый раз из мешка вынимают жёлтый и зелёный шар и заменяют их красным шаром, то мешок переходит в состояние (0,0,3), когда все шары в мешке – красные.

Если в первый раз из мешка вынимают зелёный и красный шар и заменяют их жёлтым шаром, то мешок переходит в состояние.  Дальнейшие переходы из одного состояния в другое определяются однозначно и описываются цепочкой: (2,0,1)->(1,1,0)->(0,0,1) Видим, что в мешке остался красный шар.

Аналогично, если в первый раз из мешка вынимают жёлтый и красный шар и заменяют их зелёным шаром, то мешок переходит в состояние.  Дальнейшие переходы из одного состояния в другое определяются однозначно и описываются цепочкой: (0,2,1)->(1,1,0)->(0,0,1)

Видим, что в мешке снова остался красный шар.

Таким образом, в любом случае оставшиеся в мешке шары (или шар) будут красными.

 

(б). Легко видеть, что в мешке могут остаться зелёные шары: (3,4,5)->(4,3,4)->(3,4,3)->(2,5,2)->(1,6,1)

Докажем, что в любом случае оставшиеся в мешке шары будут зелёными.

Так как каждый раз общее количество шаров в мешке уменьшается на 1, то процесс завершится не более чем за 11 шагов. В начальном состоянии количество жёлтых и красных шаров нечётно, а количество зелёных шаров – чётно. Поскольку за один ход  (выемку и замену шаров) количество шаров каждого цвета изменяется на 1, количество жёлтых и красных шаров всегда будут одной чётности, а количество зелёных шаров – противоположной чётности.

Поэтому, никогда нельзя получить состояние, в котором количество зелёных и количество красных шаров оба будут нулевыми, также, как никогда нельзя получить состояние, в котором количество зелёных и количество жёлтых шаров будут нулевыми. Следовательно, в любом случае в конце мы получим состояние, в котором все оставшиеся в мешке шары будут зелёными.

 

(в). Обозначим f(S)=Y-G, где Y и G – количества жёлтых и зелёных шаров в данном состоянии S=(Y,G,R)

Предположим, что из состояния S за один шаг мы перешли в состояние  S’=(Y’,G’,R’) Докажем, что f(S) и f(S’) дают одинаковые остатки при делении на 3.

 Для этого покажем, что разность Df=f(S’)-f(S)  делится на 3.

 Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. Y'=Y-1, G'=G-1, R’=R+2. Df=f(S’)-f(S)=(Y’-G’)-(Y-G)=((Y-1)-(G-1))-(Y-G)

Случай 2. Y'=Y-1, G'=G+2, R’=R-1. Df=f(S’)-f(S)=(Y’-G’)-(Y-G)=((Y-1)-(G+2))-(Y-G)   

Случай 3. Y'=Y+2, G'=G-1, R’=R-1. Df=f(S’)-f(S)=(Y’-G’)-(Y-G)=((Y+2)-(G-1))-(Y-G) 

Видим, что f(S) и f(S’) дают одинаковые остатки при делении на 3.

Для начального состояния S0(3,4,5) находим: f(S0)=Y-G=3-4=-1

Oбщее количество шаров в мешке остаётся неизменным, поскольку каждый раз два вынутых шара

заменяются двумя шарами другого цвета. Если бы в конце в мешке все шары оказались бы одного цвета, то

конечным состоянием Sn было бы одно из трёх состояний  (12,0,0), (0,12,0) или (0,0,12). 

В любом случае f(Sn) будет делиться на 3, и, значит, f(S0) и f(Sn) дают разные остатки при делении на 3.

Следовательно, применяя указанную процедуру, добиться того, чтобы в мешке оказались шары одного цвета, нельзя.

Можно построить диаграмму, устанавливающую из каких состояний можно прийти в состояние (12,0,0) .

 

Поскольку среди этих состояний нет состояния  (3,4,5)  или  какой-либо его перестановки, приходим к тому же выводу другим путём: добиться того, чтобы в мешке оказались шары одного цвета, нельзя.

 

 

Кто спасает ребёнка, тот спасает целый мир!

 

http://vk.com/pomogisofi

 

Обращаемся ко всем неравнодушным людям – пожалуйста, помогите нам

собрать деньги на лечение нашей дочери в Германии.
С вашей помощью мы сможем ее вылечить! Главное, чтобы не было слишком поздно. Предварительная стоимость лечения - 40-45 тысяч евро.

Диагноз: симптоматическая эпилепсия

Предварительная стоимость лечения-45000 ЕВРО=1850 000 РУБ.

Осталось собрать: 1 222 283 руб!