Скачать документ в формате pdf

alt : test.pdf

 

Обсудить задания, посмотреть подробные решения части С, задать вопросы можно на форуме

 

 

Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Задание

Ответ

В1

4

В2

27

В3

4,5

В4

1102,5

В5

0

В6

10

В7

9

В8

3

В9

183

В10

0,57

В11

9

В12

70

В13

14

В14

-5

 

 

С6 а) Во время первого прохода слева направо Поля закроет все ячейки с чётными номерами.

Открытыми останутся ячейки с нечётными номерами:  1, 3, . . . , 47, 49.

Во время второго прохода  справа налево Поля закроет ячейки, номера которых при делении на 4 дают в остатке 3:  47, 43, 39, . . . , 3.

Открытыми останутся ячейки, номера которых при делении на 4 дают в остатке 1:   1, 5, . . . , 45, 49.

Во время третьего прохода слева направо Поля закроет все ячейки,  номера которых дают при делении на 8 в остатке 5:  5, 13, 21, 29, 37, 45.

Открытыми останутся ячейки, номера которых при делении на 8 дают в остатке 1:  1, 9, 17, 25, 33, 41, 49.

Во время четвёртого прохода  справа налево Поля закроет ячейки, номера которых при делении на 16 дают в остатке 9:    41, 25, 9.

Открытыми останутся ячейки, номера которых при делении на 16 дают в остатке 1: 1, 17, 33, 49.

Во время пятого прохода слева направо Поля закроет все ячейки,  номера которых дают при делении на 32 в остатке 17: 17, 49.

Открытыми останутся ячейки, номера которых при делении на 32 дают в остатке 1:  1, 33.

Во время шестого прохода  справа налево Поля закроет ячейку 1, номер которой при делении на 64 даёт в остатке 1.

Открытой останется ячейка 33, номер которой при делении на 64 даёт в остатке 33.

Таким образом,  f(50) = 33.

 

б)  Предположим, что нашлось n, такое что f(n)=2013  т.е. последней открытой ячейкой является ячейка с номером 2013.

Прежде всего заметим, что если n– чётно, то f(n)=f(n-1), поскольку последняя ячейка с номером  число n будет закрыта при первом проходе ряда слева направо, так что, если бы эта ячейка отсутствовала, то на значении номера последней открытой ячейки это бы не отразилось. Значит, можно считать n нечётным.

Во время первого прохода слева направо Поля закроет все ячейки с чётными номерами. Открытыми останутся ячейки с нечётными номерами, т.е. с номерами m, дающими при делении на 4 в остатке 1 или 3: m=1 или 3 (mod 4)                               

Число 2013 при делении на 4 даёт в остатке 1. Поскольку эта ячейка осталась открытой, то во время второго прохода  справа налево Поля закроет ячейки, номера которых при делении на 4 дают в остатке 3: m=3 (mod 4).

Открытыми останутся ячейки с номерами m, дающими при делении на 4 в остатке 1, т.е с номерами, дающими при делении на 8 в остатке 1 или 5: m=1 или 5 (mod 8)

Поскольку ячейка с номером 1 осталась открытой, то во время третьего прохода  слева направо Поля закроет ячейки, номера которых при делении на 8 дают в остатке 5: m=5 (mod 8). Число 2013 при делении на 8 даёт в остатке 5. Значит, она должна быть закрыта во время третьего провода ряда.

Получили противоречие. Следовательно, не существует натурального числа n, такое что f(n)=2013

 

в). Пусть n=50+4k, где k>=3,  тогда f(n)=f(50)=33..

После первых шести проходов из первых 50 ячеек останется открытой одна ячейка с номером 33, а количество открытых ячеек с номерами, большими 50, уменьшится в 26=43 раз и будет равно 4k-3.  Если k>3 то после каждой пары проходов слева направо и справа налево ячейка с номером 33 будет оставаться открытой, а количество ячеек с номерами, большими 50, будет уменьшаться в 4 раза. В конце концов, останутся открытыми 2 ячейки: одна –  с номерами 33, и другая –  с каким-то номером большим 50, которая будет закрыта во время последнего прохода слева направо. Значит,  f(n)=33.

 

Шесть начальных лекций о целых числах. Подготовка к С6

На первой лекции мы решаем линейные уравнения в целых числах. Это очень просто и очень быстро!
На второй лекции поговорим о делении с остатком. Вам кажется, что это легко? Найдите остаток от деления 5n+3 на n. Ваш ответ 3? Это не совсем так...
Разумеется, умение правильно работать с остатками мы тут же применим на практике, решая уравнения.
На третьей лекции будем искать НОД и НОК чисел, используя алгоритм Евклида. Нет-нет, совсем не так, как это делалось в шестом классе. Попробуйте найти НОК(n; n+3).
На следующих трёх лекциях разбираем красивые и интересные задания С6. Условия задач перечислены ниже. Наслаждайтесь красотой решения и не бойтесь творить сами! Некоторые задачи мы решим методами второклассника. Не верите? Смотрите лекции!