Ответы к заданиям части 1
Каждое правильно выполненное задание
части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными
верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или
конечной десятичной дроби.
Задание |
Ответ |
В1 |
150 |
В2 |
45 |
В3 |
44 |
В4 |
63 |
В5 |
2 |
В6 |
30 |
В7 |
-1,5 |
В8 |
8 |
В9 |
45 |
В10 |
0,0296 |
В11 |
343 |
В12 |
20 |
В13 |
5 |
В14 |
-6 |
|

а)
Ответ: можно. Такая подпоследовательность строится, например, следующим
образом.
Напишем первые сто различных чисел
Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (каждое число, начиная с третьего, есть
сумма двух предыдущих). Разделим все числа на их наименьшее общее
кратное и запишем результаты в обратном порядке. Все дроби сократятся, и
получатся числа из нашего ряда, записанные в порядке убывания, при этом
каждое число, начиная с третьего, есть разность двух предыдущих, что и
требуется.
б) Ответ: нельзя. Для доказательство
рассмотрим три дроби 1/a, 1/b и
1/c, такие что 1/a –
1/b = 1/c.
Разложим знаменатели на простые сомножители и рассмотрим один из
сомножителей p. Пусть a = pim, b = pjn,
где m и n не
делятся на p.
Обозначим через k максимальное
из чисел i и j.
Имеем: 1 / pim –
1 / pjn =
(pk – in – pk – jm)
/ pkmn. Мы
знаем, что эта дробь сократится и степень k сомножителя p в
знаменателе в любом случае не увеличится. Таким образом, в числе c кратность
сомножителя p не
больше, чем наибольшая кратность этого сомножителя в числах a и b.
Пусть 1/a и
1/b — две первые дроби
подпоследовательности, которую мы хотим выбрать. Разложим числа a и b на
простые сомножители. Этих сомножителей конечное число (обозначим этот
набор сомножителей через M),
и каждый имеет некоторую кратность. Рассмотрим знаменатель любого члена
нашей подпоследовательности, начиная с третьего. Разложим его на простые
сомножители. Эти сомножители могут быть только из набора M,
и кратность каждого не больше, чем наибольшая кратность этого
сомножителя в числах a и b.
Отсюда следует, что различных знаменателей может быть лишь конечное
число, а значит, и наша подпоследовательность конечна.
|