Скачать документ в формате pdf

alt : test.pdf

 

Обсудить задания, посмотреть подробные решения части С, задать вопросы можно на форуме

 

 

Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

 

 

Задание

Ответ

В1

150

В2

45

В3

44

В4

63

В5

2

В6

30

В7

-1,5

В8

8

В9

45

В10

0,0296

В11

343

В12

20

В13

5

В14

-6

 

а) Ответ: можно. Такая подпоследовательность строится, например, следующим образом.
Напишем первые сто различных чисел Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (каждое число, начиная с третьего, есть сумма двух предыдущих). Разделим все числа на их наименьшее общее кратное и запишем результаты в обратном порядке. Все дроби сократятся, и получатся числа из нашего ряда, записанные в порядке убывания, при этом каждое число, начиная с третьего, есть разность двух предыдущих, что и требуется.
б) Ответ: нельзя. Для доказательство рассмотрим три дроби 1/a, 1/b и 1/c, такие что 1/a – 1/b = 1/c. Разложим знаменатели на простые сомножители и рассмотрим один из сомножителей p. Пусть a = pim, b = pjn, где m и n не делятся на p. Обозначим через k максимальное из чисел i и j. Имеем: 1 / pim – 1 / pjn = (pk  in  pk  jm) / pkmn. Мы знаем, что эта дробь сократится и степень k сомножителя p в знаменателе в любом случае не увеличится. Таким образом, в числе c кратность сомножителя p не больше, чем наибольшая кратность этого сомножителя в числах a и b.

Пусть 1/a и 1/b — две первые дроби подпоследовательности, которую мы хотим выбрать. Разложим числа a и b на простые сомножители. Этих сомножителей конечное число (обозначим этот набор сомножителей через M), и каждый имеет некоторую кратность. Рассмотрим знаменатель любого члена нашей подпоследовательности, начиная с третьего. Разложим его на простые сомножители. Эти сомножители могут быть только из набора M, и кратность каждого не больше, чем наибольшая кратность этого сомножителя в числах a и b. Отсюда следует, что различных знаменателей может быть лишь конечное число, а значит, и наша подпоследовательность конечна.