1. Исследовать сходимость числовых рядов

 

 

1)

 

 Ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости:

 

2)

 

Воспользуемся предельным признаком сравнения со сходящимся рядом Дирихле :

 

, значит ряд  сходится.

 

 

3)

 

Воспользуемся признаком Даламбера:

 

 - ряд сходится

 

 

 

4)

 

Воспользуемся интегральным признаком.

 

 

Несобственный интеграл расходится. Значит и ряд  расходится.

 

 

5)

 

Условия признака Лейбница выполнены:

 

Значит, ряд сходится.

Для определения характера сходимости исследуем ряд: .

Как известно, ряд Дирихле  сходится при .

 

Значит, ряд  сходится абсолютно.

 

 

 

6)

 

 

Условия признака Лейбница выполнены:

 

Исследуем на сходимость ряд

 

Применим радикальный признак Коши:

 

 ряд сходится

 

 

Таким образом, ряд  сходится абсолютно.

 

 

2. Найти интервал сходимости степенного ряда  и

исследовать его сходимость на границах интервала сходимости.

 

 

Для определения радиуса сходимости применим признак Даламбера:

 

 

 

Таким образом, интервал сходимости

Исследуем сходимость на границах интервала:

 

x = :  - расходящийся ряд (не выполнено необходимое условие сходимости)

 

х = :   - расходящийся ряд (не выполнено необходимое условие сходимости)

 

 

Таким образом, ряд  сходится на интервале

 

 

 

3. Разложить в степенной ряд (ряд Маклорена) функцию

 

и найти интервал сходимости полученного ряда.

 

 

Ряд Маклорена имеет вид

 

Сделаем замену переменной:

 

Используя стандартное разложение, получаем:

 

 

 

Итого:

 

 

 

 

Для определения интервала сходимости воспользуемся признаком Даламбера:

 

 

 

 

На границах интервала х = -9:  - расходящийся гармонический ряд

x = 9:  условия признака Лейбница выполнены – ряд сходится условно.

 

Окончательно, интервал сходимости ряда