1. Опишите и покажите штриховкой на координатной плоскости ХОУ область определения функции

 

 

Ограничения имеют вид:

 

    

 

         На рисунке показана область, описываемая данными ограничениями. Красным цветом показана дуга эллипса, соответствующая третьему ограничению системы. Область определения функции показана  серым цветом. Граница области, определяемая первым ограничением, включается в область.

 

2. Проверьте  для функции .

 

 

 

 

 

 

Как видно, .

 

Проверка в системе Maple 8:

 

> z:=x*exp(4*(x^(-2)-y^(8/3)));

> zx:=diff(z,x);zy:=diff(z,y);

> zxy:=diff(zx,y);zyx:=diff(zy,x);

 

3. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду  в точке М0 с координатами х = 2, у = -2.

 

Найдем значение функции в точке М0

 

 

 

Уравнение нормали:

 

 

Уравнение касательной плоскости:

 

 

 

 

4. На координатной плоскости ХОУ постройте область D, ограниченную линиями:

а) С помощью двойного интеграла вычислите площадь области D

б) Вычислите двойной интеграл

а)

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

Проверка в системе Maple 8:

 

 

>

>

 

 

5. Напишите и проверьте формулу Остроградского – Грина для силы  по контуру треугольника с вершинами А(4 , 1), В(5 , 2), С(4 , 3).

 

 

Уравнения сторон треугольника:

 

AB:

 

BC:

AC:

 

 

 

 

Формула Остроградского – Грина

 

 

>

 

Для проверки вычислим криволинейный интеграл по контуру треугольника:

 

 

 

 

 

Что и требовалось проверить.