Задание №1

 

Даны координаты трех точек:

 

A(4; 4)   B(6; 3)  C(3; 6)

 

 

 

 

1)    Проверить, не лежат ли точки на одной прямой, составить уравнение прямой AB.

 

 

Подставим в полученное уравнение координаты точки С:   , значит, точка С не лежит на одной прямой с точками А и В.

 

 

2) Уравнение высоты CK треугольника АВС

 

 

По условию, СК перпендикулярна стороне АВ, значит, направляющий вектор прямой СК перпендикулярен направляющему вектору прямой АВ:

 

Из условия  получаем:

 

 

 

 

            Тогда   

                                  

 

Искомое уравнение

 

            3) Уравнение медианы AD треугольника ABC

 

 

По условию D – середина BC, значит

                                                                 

 

 

 

 

            4)  Координаты точки пересечения высоты СК и медианы AD.

 

            Решим систему уравнений:

 

 

            Высота пересечется с медианой в начале координат.

 

 

 

 

            5) Угол между медианой AD и высотой AC

 

 

 

            6) Площадь треугольника ABC

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №2

 

Даны координаты четырех точек

A(1; -2; -2)  B(1; -1; -2)  C(1; 0; -1)  D(0; -1; -1)

 

 

            1) Проверьте, что эти точки не лежат в одной плоскости.

 

 

 

Значит, векторы некомпланарны.

 

 

 

           

            2) Найдите уравнение плоскости ABC

 

            Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через 3 точки

 

 

            Плоскость  параллельна плоскости YOZ

 

 

            3) Найти уравнение прямой AB

 

 

 

 

 

            4) Площадь треугольника ABC

 

 

 

            5)  Уравнение и длину высоты H пирамиды ABCD, опущенной из вершины D на основание ABC.

 

 

Вектор, перпендикулярный плоскости ABC имеет координаты (1; 0; 0) – это видно из уравнения плоскости. Этот вектор будет направляющим вектором высоты H. С учетом того, что эта высота проходит через точку D, получаем:

 

 

 

            Чтобы найти длину высоты, найдем объем пирамиды:

 

 

Из геометрии известно, что , получаем:

 

 

 

            6) Координаты точки К –основания высоты Н

 

 

Из условия пересечения высоты

 

 

 

и плоскости АВС:

 

x = 1

 

Получаем:  K(1; -1; -1)

 

 

            7) угол между ребром DA и основанием АВС и угол между гранями АВС и ADC.

 

 

 

 

 

Угол между гранями АВС и ADC ,будет равен углу между нормалями к этим плоскостям. Найдем уравнение плоскости ADC и координаты вектора нормали:

 

 

 

 

 

 

 

            8) Объем пирамиды.  (см. п.5)