Задача № 345

 

         Дана задача выпуклого программирования. Требуется:

 

1)     найти решение графическим методом

2)     написать функцию Лагранжа данной задачи и найти ее седловую точку, используя решение задачи, полученное графически.

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

         Графическое решение задачи следующее:

 

 

 

 

 

         Система неравенств определяет область, ограниченную двумя прямыми и координатными осями. График целевой функции представляет собой окружность переменного радиуса с центром в точке (5 , 10). Значение целевой функции графически представляет собой квадрат радиуса этой окружности. Минимальным радиусом, удовлетворяющим системе ограничений, будет  такой радиус, который обеспечивает касание окружности с границей области так, как это показано на рисунке.

         Искомая точка определяется как решение системы уравнений

 

 

         Получаем точку (3 , 8), значение целевой функции в этой точке равно 8.

 

 

         Теперь запишем задачу в традиционном виде:

 

 

 

         Функция  называется функцией Лагранжа, а переменные  - коэффициентами Лагранжа.

         Точка  называется Седловой точкой функции Лагранжа, если для любых  выполняются неравенства:

 

 

 

         Если функции  дифференцируемы, то условия определяющие седловую точку (условия Куна-Таккера):

 

 

 

 

         В нашем случае получаем:

 

 

           

         Подставим в эти выражения значения :

 

 

 

         Получаем

 

         Седловая точка функции Лагранжа: .

 

         Проверим условия cедловой точки:

 

 

 

 

         Условия выполнены, седловая точка .