Задача № 358

 

        

         Для двух предприятий выделено 1400 единиц денежных средств. Как распределить все средства в течение 4 лет, чтобы доход был наибольшим, если известно, что доход от х единиц, вложенных в первое предприятие равен , а доход от у единиц, вложенных в первое предприятие равен . Остаток средств к концу года составляет  - для первого предприятия,  - для второго предприятия. Решить задачу методом динамического программирования.

 

 

 

Решение

 

 

         Процесс распределения средств разобъем на 4 этапа – по соответствующим годам.

         Обозначим  - средства, которые распределяются на к–ом шаге как сумма средств по предприятиям.

 

         Суммарный доход от обоих предприятий на к–ом шаге:

 

 

         Остаток средств от обоих предприятий на к–ом шаге:

 

 

         Обозначим  - максимальный доход, полученный от распределения средств  между двумя предприятиями с к-го шага до конца рассматриваемого периода.

         Рекуррентные соотношения Беллмана для этих функций

 

 

 

         Проведем оптимизацию, начиная с четвертого шага:

 

         4-й шаг.

         Оптимальный доход равен: , т.к. линейная убывающая функция достигает максимума в начале рассматриваемого промежутка, т.е. при .

 

         3-й шаг.

 

 т.к. линейная убывающая функция достигает максимума в начале рассматриваемого промежутка, т.е. при .

 

            2-й шаг.

 

 т.к. линейная возрастающая функция достигает максимума в конце рассматриваемого промежутка, т.е. при .

 

 

 

            1-й шаг.

 

 т.к. линейная возрастающая функция достигает максимума в конце рассматриваемого промежутка, т.е. при .

 

 

         Результаты оптимизации:

 

         Определим количественное распределение средств по годам:

 

Т.к. , получаем

 

 

         Представим распределение средств в виде таблицы:

 

 

предприятие

год

1

2

3

4

1

1400

700

0

0

2

0

0

350

105

 

 

         При таком распределении средств за 4 года будет получен доход, равный