Задача 1. Разложить функцию  в степенной ряд по степеням (х – а) при

а = 1. Определить область сходимости полученного ряда.

 

            Ряд Тейлора для функции имеет вид:

 

 

В нашем случае:

 

 

 

…………………………………..

 

 

            Получаем разложение в ряд:

 

 

Ниже показан график исходной функции и ее разложения в ряд, ограничившись четырьмя первыми членами разложения.

 

 

            Для определения области сходимости полученного ряда воспользуемся признаком Даламбера.

 

Следовательно, ряд сходится при любом конечном значении х.

 

Тот же факт можно доказать, если воспользоваться формулой для нахождения радиуса сходимости:

, где ап и ап-1 – коэффициенты ряда.

Полученный результат означает, что радиус сходимости ряда:

 

            Задача 2. С точностью до е=0,001 вычислить интеграл

 

 

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции рядом Маклорена. (Ряд Маклорена – это ряд Тейлора (см. выше) при а = 0).

            Разложение функции cosx имеет вид:

 

 

Вообще- то это разложение относится к стандартным, имеется в любом справочнике и обычно применяется без доказательства, но на всякий случай привожу доказательство этой формулы.

 

 

 

Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:

 

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

 

Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.

 

 

Теперь представим наш интеграл в виде:

 

В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5].

Однако, в нашем случае, скажем, что равномерная сходимость степенного ряда по теореме Абеля следует из сходимости ряда. , а сходимость этого ряда может быть легко доказана при любом х.

Радиус сходимости этого ряда равен:

т.е. ряд сходится при любом конечном значении х.

Можно не доказывать факт равномерной сходимости так детально, сослаться на общеизвестные формулы для разложения косинуса и комбинацию этого разложения в подинтегральной функции.

 

            Итак:

 

Итого, получаем:

Как видно,  абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

 

Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…

 

 

 

Задача 3. Найти 3 первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решений дифференциального уравнения:

 

 

При данных начальных условиях решение уравнения будем искать в виде разложения в ряд Маклорена.

 

 

Осталось только определить коэффициенты ряда. Первые два коэффициента уже известны – это начальные условия. Для определения третьего коэффициента подставим начальные условия в исходное дифференциальное уравнение:

 

Таким образом, первые три члена разложения равны нулю.

 

Вообще, начальные условия очень неудачные. Придется много дифференцировать, чтобы найти отличные от нуля члены разложения. А т.к. уравнение нелинейное то другие способы решения (например, метод сравнения неопределенных коэффициентов) применять нельзя.

 

Для нахождения следующих членов разложения дифференцируем по х обе части исходного дифференциального уравнения:

 

Таким образом, найден первый ненулевой член разложения: .

            Для нахождения следующего члена разложения опять дифференцируем только что полученное выражение по х. Находим значение в нуле и т.д. пока не получим еще два ненулевых члена разложения. Как это не грустно, но при наших начальных условиях придется дифференцировать 13 раз.

 

 

 

 

 

 

Нашли второй ненулевой член разложения: .

 

 

 

 

 

 

 

Теперь найден третий ненулевой член разложения: .

 

Получаем, что решение дифференциального уравнения имеет вид:

 

 

 

Подставим полученный результат в исходное уравнение:

 

 

 

Как видно, при х достаточно близких к начальным условиям, последние три слагаемых практически равны нулю, и равенство выполняется.