14.1

 

 

            Вычислить массу дуги  между точками с абсциссами , если линейная плотность в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.

 

 

 

РЕШЕНИЕ

 

            Масса дуги может быть найдена по формуле  ,

 

 

 

 

14.2

 

            Вычислить криволинейный интеграл  по незамкнутой линии BSA (см. рис)

                                         

                                                                      y

                                                       S                   A

 

 

                                                       B

 

                                                         -1                0                          x

непосредственно и с использованием формулы Грина (BSА – смежные стороны квадрата)

 

 

 

РЕШЕНИЕ

 

            Разобьем заданный интеграл на два:

  +=

 

            По формуле Грина:

Дополним контур до замкнутого ASBO. По формуле Грина:

 

++=

=

           

 

Итого:  , следовательно  = 0

 

 

 

14.3

 

            Вычислить поверхностный интеграл , где S – внешняя сторона поверхности полусферы

 

            Участок S представляет собой четвертую часть сферы, расположенную в положительных областях координатных осей х и у. На плоскости уОх этот участок дважды проецируется в четверть круга Dyx.

 

                                                           z

 

 

 

 

 

                                                                                                     y

 

 

 

 

                                          x

 

 

 

 

 

            Т.к. внешние нормали для z > 0 образуют с осью z острые углы, а при z < 0 – тупые, то

 

 

            Проекция поверхности на плоскость zOx – полукруг Dzx, а внешняя нормаль к поверхности образует с осью у острый угол, значит

 

 

 

 

 

 

14.4

 

            Для функциональной последовательности определить множество сходимости, найти предельную функцию и начертить ее график.

 

 

                                                                                                                                у

РЕШЕНИЕ

 

            .

                                                                                                                                                          х

            Значит  - предельная функция при

 

 

 

 

14.5

 

            Исследовать равномерную сходимость последовательности  на каждом из множеств  

 

 

РЕШЕНИЕ

 

            При фиксированном при :

 

 

            В точках х = 1 и х = -1      f(x) = 0,

            Т.е. предельная функция .

 

            Рассмотрим  при   , т.е. сходимость равномерная на всем отрезке , т.е. на множествах Е1 и Е2.

 

 

 

14.6

 

            Исследовать равномерную сходимость ряда  на множестве .

 

 

РЕШЕНИЕ

 

 

            Применим признак Дирихле. Для этого представим исходный ряд в виде:

 

 

            Последовательность bn(x) монотонно сходится к 0, т.к. , а последовательность с общим членом  монотонно сходится к 0.

            Оценим последовательность частичных сумм ряда:

т.к. на  , то  имеет конечное значение. Условия признака Дирихле выполнены.

 

Ряд сходится равномерно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.7

 

            Найти область существования функции  и исследовать ее на непрерывность.

 

 

РЕШЕНИЕ

 

 

            С учетом того, что , получаем:

 

 

            Т.к. ряд  сходится, то  - сходится равномерно на R по мажорантному признаку. Можно сделать вывод о непрерывности на R предельной функции.

 

 

 

 

14.8

 

            Найти множество сходимости ряда  и исследовать дифференцируемость во внутренних точках множества.

 

 

РЕШЕНИЕ

 

            При  общий член ряда не стремится к 0 – не выполняется необходимое условие сходимости, ряд расходится.

            Рассмотрим ряд .  

            Применим к нему признак Даламбера: . Этот ряд будет сходиться при .

            Подставим в ряд точки . Оба ряда будут сходиться, т.к. , а ряд с общим членом  сходится.

            Таким образом, область сходимости .

 

            Исследуем дифференцируемость ряда:

 Этот ряд сходится во всех точках Е (по признаку Даламбера см. выше).

Для любой внутренней точки х0  можно указать х = q;  чтобы ряд  сходился. При этом на (-q; q)  ряд из производных сходится равномерно.

 

            Таким образом, исходный ряд сходится к дифференцируемой функции S(x).

 

 

 

14.9

 

            Показать, что ряд  допускает почленное интегрирование на [2, 10] и найти получаемый при этом числовой ряд.

 

           

 

 

 

   - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (сходится равномерно), первый член равен e-x, знаменатель прогрессии равен е.

 

 

Можно сделать вывод о равномерной сходимости ряда  на [2, 10], значит на этом отрезке возможно почленное интегрирование ряда:

 

 

 

 

 

 

 

14.10

 

            Используя известные разложения элементарных функций и методы дифференцирования и интегрирования, разложить функцию  в степенной ряд с центром в точке х0 = 0. Найти радиус сходимости полученного ряда.

 

РЕШЕНИЕ

 

 

            Заметим, что

 

            Обозначим .

 

 

Тогда:

 Известно разложение

 

            Для нашего случая получаем:

 

 

Окончательно:  

 

Для ряда ,  радиус сходимости , для

 

 

            Ниже представлены графики исходной функции и ее разложения в ряд. На первом рисунке для 10 первых членов ряда, на втором рисунке – для 100.

 

рис.1

10 первых членов ряда

 

 

 

рис.2

100 членов ряда

 

 

 

 

14.11

 

            Вычислить производную функции

 

 

РЕШЕНИЕ

 

            Подынтегральная функция и ее производная по у непрерывны при любых х и у, пределы интегрирования непрерывно дифференцируемы, так что применим общую формулу:

 

 

 

 

 

 

 

14.12

 

            Исследовать сходимость интеграла

 

 

 

РЕШЕНИЕ

 

            Интеграл имеет неограниченную область (∞) и неограниченность функции при

х = 0.

           

 

            Исходный интеграл сходится если сходятся оба интеграла, входящие в сумму.

 

Рассмотрим первый интеграл:

 

 

При  этот интеграл расходится, значит расходится и исходный интеграл.

 

 

14.13

 

 

            Исследовать равномерную сходимость интеграла  на множествах

а)    б) 

 

 

 

Применим признак Абеля-Дирихле. Для этого представим интеграл в виде:

 

 - равномерная ограниченность интеграла

 

 монотонна и стремится к 0 равномерно на  т.к.

 

Условия признака Абеля – Дирихле выполнены, интеграл равномерно сходится на , а т.к. Е2  включает в себя Е1, то интеграл равномерно сходится на обоих множествах.

 

 

14.14

 

            Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на интервале , равном периоду, формулой

            Начертить график суммы ряда.

 

 

 

 

           

Функция периодична на отрезке , значит разложение в ряд Фурье имеет вид:

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

;

 

При целых п ;

 

С учетом этого имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

При целых п ;

 

С учетом этого имеем:

 

 

=

 

=

 

 

 

 

            Ниже представлены графики исходной функции и ее разложения в ряд Фурье.

 

 

рис.3

 

График заданной функции и ее разложения в ряд Фурье (2 первых членa ряда)

 

 

рис.4

 

График заданной функции и ее разложения в ряд Фурье (10 первых членов ряда)

 

 

 

14.15

 

            Разложите в ряд Фурье по косинусами синусам кратных дуг функцию, заданную в полупериоде [0 ; p] формулой . Начертите график суммы ряда для каждого разложения. Обратите внимание на порядок убывания коэффициентов Фурье обоих рядов: объясните отличие в порядках, если оно имеется.

 

 

            1) Разложение по косинусам. Разложение соответствует продолжению на  четным образом. По условиям  для любого п.

 

 

 

Для четных п , для нечетных

 

 

            Разложение имеет вид:

 

 

рис. 4

График заданной функции и ее разложения по косинусам.

 

 

 

            2) Разложение по синусам.  соответствует продолжению нечетным образом (в 0 функция разрывна).

 

 

 

Разложение имеет вид:

 

 

            Что касается отличия порядков убывания коэффициентов двух разложений, то в первом случае они убывают пропорционально , а во втором- пропорционально , что объясняется большей гладкостью четного продолжения.

рис.5

График заданной функции и ее разложения по синусам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

 

 

 

1.      Как делается переход к параметру в криволинейных интегралах 1-го и 2-го рода?

 

ОТВЕТ:

 

 - интеграл 1-го рода

 

      - интеграл 2- го рода

 

 

 

            2. Чем отличаются формулировки условий независимости интеграла от пути интегрирования в двумерном и трехмерном случаях?

 

 

            ОТВЕТ:

           

            В двумерном случае для интеграла вида  условия имеют вид:

            В трехмерном случае для интеграла вида  условия имеют вид:

 

 

            3. Как выбирается знак в двойном интеграле по проекции участка поверхности при вычислении поверхностного интеграла 2-го рода?

 

 

            ОТВЕТ:

 

            Знак в двойном интеграле выбирается такой же, какой имеет косинус между внешней нормалью к поверхности и нормалью к плоскости, содержащей проекцию участка поверхности.

 

 

            4. Что общего и отличного друг от друга в понятиях поточечной и равномерной сходимости функциональных последовательностей?

 

            ОТВЕТ:

 

            Последовательность  называется сходящейся на Е0 к функции f(x), если

Это определение поточечной сходимости, в каждой точке независимо от остальных. Значение п0 зависит от  и от х. Если же существует п0, обладающее указанным свойством при любом х из Е0, то такая сходимость называется равномерной.

 

 

            5. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости последовательностей и рядов.

 

 

            ОТВЕТ:

 

Для ряда:

             Чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно чтобы для каждого  существовал такой номер п0, чтобы для любого п>n0, любого  и любого натурального k выполнялось условие:

 

 

Для последовательности:

            Чтобы последовательность fn(x) равномерно сходилась на множестве Е к некоторой функции необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовал такой номер п0, чтобы для любого п>n0, k>n0 (k>n) и любого выполнялось неравенство

 

 

            6. Может ли последовательность функций, разрывных на отрезке [a, b], сходиться на нем равномерно к непрерывной функции? Рассмотрите на [0, 1] , где

 

            ОТВЕТ:

 

            Да, может. В предложенном примере функция , так что на R последовательность сходится (причем равномерно) к непрерывной функции . При этом функции  разрывны в каждой точке (в любой сколь угодно малой окрестности рационального числа найдется иррациональное).

 

 

 

            7. Может ли последовательность функций, непрерывных на отрезке [a, b], равномерно сходиться на нем к функции разрывной?

 

           

 

            ОТВЕТ:

 

            Нет, т.к. это противоречит теореме о непрерывности функции: Если последовательность непрерывных на Е функций  равномерно сходится на Е к функции , то и функция  непрерывна на Е.

 

            8. Пусть даны три ряда:

            Какие из нижеследующих утверждений верны?

 

(a)   Если (1) и (2) сходятся равномерно, то (3) сходится равномерно.

(b)   Если (1) и (2) сходятся неравномерно, то (3) сходится неравномерно.

(c)    Если (1) сходится равномерно, а (2) – неравномерно, то (3) – неравномерно.

(d)   Если (1) сходится равномерно, а (2) – неравномерно, то (3) – равномерно.

 

 

            ОТВЕТ:

 

            Верны утверждения (а) и (b)

 

 

 

            9. Какой вид имеют множества сходимости и равномерной сходимости степенного ряда?

 

            ОТВЕТ:

 

            В соответствии с теоремой Коши-Адамара:

            Для степенного ряда  рассмотрим последовательность , тогда

1.      Если bn – неограниченная последовательность, то ряд сходится всюду, кроме

 х = 0.

2.      Если bn ограничена и , то ряд сходится на , где R=1/B.

3.      Если то ряд сходится на всей оси.

 

В то же время:

           

            Какое бы число r (0<r<R) ни взять, ряд сходится равномерно и абсолютно на

X=[-r; r], при этом сумма ряда на Х непрерывна.

 

 

            10. В каких случаях функциональные ряды допускают почленное интегрирование и дифференцирование?

 

            ОТВЕТ:

 

            Если функции  непрерывны на отрезке   и ряд  равномерно сходится на этом отрезке, то этот ряд можно интегрировать почленно, а если функции  непрерывно дифференцируемы на этом отрезке, а сам ряд сходится хотя бы в одной точке отрезка , то ряд можно почленно дифференцировать.

 

 

 

            11. Может ли интеграл от неограниченной функции сходиться равномерно? абсолютно?

 

            ОТВЕТ:

 

            Несобственный интеграл 2-го рода (от неограниченной) функции  может сходиться абсолютно, если сходится интеграл . Равномерная сходимость невозможна, т.к. невозможно указать такое , которое ограничивало бы подынтегральную функцию в окрестности точки разрыва (функция там неограниченна), т.е. невозможно выполнить требование критерия Коши для интегральных сумм, сводящихся к несобственному интегралу.

 

           

 

            12. Возможна ли ситуация, когда   сходится, а  расходится?

 

 

 

 

 

 

            ОТВЕТ:

 

 

            Существует теорема, что если существует предел  то интегралы  и  сходятся и расходятся одновременно. При условии  d = 1, т.е. условия теоремы выполнены.

 

 

            13. Дайте определение равномерной сходимости собственного и несобственного интеграла по параметру.

 

            ОТВЕТ:

 

            Для собственного интеграла по параметру у функции :

 

            Для равномерной сходимости на Х семейства функций  к функции  необходимо и достаточно чтобы

            Для несобственного интеграла:

 

            Несобственный интеграл  сходится равномерно на , если для произвольного  найдется такая окрестность , что для любого числа  и любого  справедливо неравенство .

 

 

 

            14. Что такое тригонометрический ряд Фурье, как находятся его коэффициенты?

 

 

 

            ОТВЕТ:

           

 

            Тригонометрический ряд Фурье это ряд вида:

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

 

           

            Здесь - функция, периодическая с периодом 2l.

 

            15. Какие функции можно разложить в тригонометрический ряд Фурье? Как сумма ряда связана с разлагаемой функцией?

 

            ОТВЕТ:

 

            В принципе, ряды Фурье применимы для периодических функций, однако, это ограничение может быть снято путем введения вспомогательной периодической функции, повторяющую заданную функцию на участке разложения в ряд.

            При этом предполагается, что для функции выполнено условие существования собственного или несобственного интеграла . Не исключено, что поставленная задача не имеет решения – даже при непрерывности функции ряд Фурье может оказаться расходящимся в точках принадлежащих отрезку разложения, однако для большинства непрерывных периодических функций ряд Фурье сходится и его сумма равна данной функции.

            Разрывные функции также могут быть разложены в ряд Фурье, но в точках разрыва сумма ряда может отличаться от функции.