ЗАДАНИЕ 2а

 

Вычислить производную функции

 

Проверка в системе Maple:

 

>

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 2б

 

Вычислить производную функции

 

 

 

Проверка в системе Maple:

 

>

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 2в

 

Вычислить производную функции

 

 

 

Проверка в системе Maple:

 

>

 

 

 

ЗАДАНИЕ 2г

 

Вычислить производную функции

 

 

 

Проверка в системе Maple:

 

>

 

 

 

ЗАДАНИЕ 3а

 

Исследовать функцию f(x) и построить ее график

 

 

 

            1) Область определения .

           

            2) Функция непериодическая.

           

            3) Четность/нечетность - функция общего вида.

           

            4) Точки пересечения с осью ОХ:

y = 0

 

 

            c осью OY: х = 0 ;   ;

 

           

 

           

 

            5) Экстремумы, возрастание, убывание

 

 

 

 

x

y’

+

-

+

y

возрастание

убывание

возрастание

 

           

 

 

 

            6)  Выпуклость/вогнутость

           

 

           

 

            7) Вертикальных асимптот нет

             - следовательно, наклонных асимптот тоже нет.

            8) График.

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 3б

 

Исследовать функцию g(x) и построить ее график

 

 

 

            1) Область определения .

           

            2) Функция непериодическая.

           

            3) Четность/нечетность - функция общего вида.

           

            4) Точки пересечения с осью ОХ:

y = 0    x = 2

 

 

 

            c осью OY: х = 0 ;   ;

 

           

 

           

 

            5) Экстремумы, возрастание, убывание

 

 

 

 

x

g’

-

+

g

убывание

возрастание

 

           

 

 

 

6)      Выпуклость/вогнутость

 

           

 

           

 

            7) Вертикальных асимптот нет

             - следовательно наклонных асимптот тоже нет.

 

           

 

           

 

 

 

 

 

 

 

            8) График.

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 4а

 

Вычислить неопределенный интеграл

 

 

 

 

Проверка в системе Maple:

 

>

 

 

 

ЗАДАНИЕ 4б

 

Вычислить неопределенный интеграл

 

 

Проверка в системе Maple:

>

 

 

ЗАДАНИЕ 4в

 

Вычислить неопределенный интеграл

 

 

 

Проверка в системе Maple:

>

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ

 

Вычислить неопределенный интеграл

 

 

Проверка в системе Maple:

 

>

 

ЗАДАНИЕ 5

 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций  f(x) и g(x)

 

 

Построим графики функций и найдем их точки пересечения.

 

Точки пересечения:

 

 

 

 

 

 

Площадь фигуры, ограниченной линиями находится по формуле:

 

 

 

Проверка в системе Maple:

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 6

 

Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух различных частных решений данного уравнения

 

 

Проверка в системе Maple:

 

>

 

         Ниже представлены графики двух частных решений уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 7

 

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанному условию.

 

 

 

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение

 

Составим и решим соответствующее однородное уравнение:

 

 

Это общее решение однородного уравнения.

 

Решение исходного уравнения будем искать в виде:

 

 

Для определения С(х) подставим этот результат в исходное уравнение.

 

 

Общее решение:

 

 

Подставим начальные условия:

 

 

Искомое частное решение:

 

 

 

 

Проверка в системе Maple:

 

 

>

Ниже показан график интегральной кривой:

 

 

ЗАДАНИЕ 8

 

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанному условию.

 

 

 

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение

 

Составим и решим соответствующее однородное уравнение:

 

 

Теперь найдем какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Для этого воспользуемся  формулой для правой части специального вида первого типа ():

 

 

 

В нашем случае:

 

Для определения коэффициента А подставим частное решение в исходное дифференциальное уравнение:

 

 

 

Общее решение исходного уравнения находим как сумму общего решения однородного уравнения и частого решения неоднородного:

 

 

Для нахождения частного решения подставим начальные условия:

 

 

 

Итого, частное решение:

 

 

Проверка в системе Maple:

 

 

>

 

Ниже показан график интегральной кривой:

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 9

 

Исследовать ряд на сходимость

 

 

 

Этот ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимое условие сходимости:

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 10

 

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

 

 

 

Для определения интервала сходимости воспользуемся признаком Даламбера.

 

 

Как видно, радиус сходимости равен 8

 

Для того, чтобы исследовать сходимость ряда на границах интервала, рассмотрим ряды:

 

    и   

 

            1)   , т.к. итоговая степень числителя больше степени знаменателя. Таким образом, не выполняется необходимый признак сходимости и ряд расходится.

 

         2)    - этот ряд тоже расходится, т.к. модуль общего члена ряда не стремится к нулю (это показано выше), т.е. нарушается первое условие признака сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.

 

            Итого: Радиус сходимости ряда равен 8, интервал сходимости .