Контрольная работа 1.

 

            1. Дано .

1)       Построить несколько линий уровня.

2)       найти частные производные 1-го и 2-го порядка в общем виде и в точке (1,1)

3)       найти градиент в общем виде и в точке (2,3) 

4)       найти дифференциал в общем виде и в точке (3,5)

5)       найти производную в точке (0,0) по направлению вектора  (1,4)

 

 

6)       Пусть  найти производную  в общем виде и при  

 

 

      2. Дано  найти экстремум и определить максимум или минимум.

 

 

К.р. 2

 

  1. Вычислить определенные интегралы

         

         

 

2. Вычислить несобственные интегралы

          

          

 

3.       Вычислить кратные интегралы

 

1)          Найти объем тела-цилиндра над плоскостью и уравнением “крыши”  

2)          Найти массу тела – цилиндра с плотностью

 

 

           

4.       Найти решение уравнения, которое при

 

      1)    

      2)  

      3)  

 

 

5.   Найти общее решение

 

 

      1)  

      2)   

 

 

6.       Установить сходимость или расходимость рядов:

 

      1)   

 

      2)  

 

      3)  

 

      4)  

 

 

7. Найти радиус сходимости ряда.

 

       

 

 

     

 

РЕШЕНИЕ

 

 

 

 

 

Контрольная работа 1.

 

1.       Дано .

 

1)       Построить несколько линий уровня.

 

 

implicitplot({(x^2*y+1)^2=10000,(x^2*y+1)^2=100,(x^2*y+1)^2=1},x=-20..20,y=-20..20);

 

Прим. Самый маленький квадратик – для z=1, побольше - для z=100, самый большой z=10000.

> plot3d((x^2*y+1)^2,x=-20..20,y=-20..20);

 

Здесь приведен пространственный чертеж поверхности.

      2. Частные производные

 

 

 

 

 

      Проверка в системе Maple:

 

> restart:z:=(x^2*y+1)^2;a:=diff(z,x);b:=diff(z,y);x:=1:y:=1:a;b;

 

 

 

 

Проверка в системе Maple:

 

> restart:z:=(x^2*y+1)^2;a:=diff(z,x$2);b:=diff(z,y$2);c:=diff(z,x,y);x:=1:y:=1:a;b;c;

 

 

      3. Градиент

 

 

Проверка в системе Maple:

 

> restart:with(linalg):g:=grad((x^2*y+1)^2, vector([x,y]));

x:=2;y:=3;g[1];g[2];

 

            4. Дифференциал.

 

 

Проверка в системе Maple:

 

> restart: z:=(x^2*y+1)^2;collect(D(z),D(x));

 

      5. Найти производную в точке (0,0) по направлению вектора (1,4)

 

 

 - направляющие косинусы вектора. Они находятся по формулам:

 

 

     

 

 

      6. Пусть  найти производную  в общем виде и при

 

 

Проверка в системе Maple:

 

> restart:

z:=(x^2*y+1)^2;

x:=2*t;y:=t^2-1;factor(z);

> f:=factor(diff(z,t));

> t:=1;f;

2. Дано  найти экстремум и определить максимум или минимум.

 

 

            Находим координаты стационарной точки:

 

      Находим значения частных производных второго порядка в этой точке:

 

 

      Ниже показан график поверхности.

 

 

 

Контрольная работа  2

 

1.       Вычислить определенные интегралы

         

 

Проверка в системе Maple:

 

> int(x*sin(x),x=0..Pi);

 

         

Проверка в системе Maple:

 

>

 

 

 

2. Вычислить несобственные интегралы

          

 

 

Проверка в системе Maple:

 

>

 

          

 

Проверка в системе Maple:

 

 

 

>

 

3. Вычислить кратные интегралы

 

1)          Найти объем тела-цилиндра над плоскостью и уравнением “крыши”  

2)          Найти массу тела – цилиндра с плотностью

 

 

 

Объем можно найти по формуле:

 

-область на плоскости ХОУ, ограниченная цилиндрической поверхностью. Ниже приведен чертеж этой области.

 

Для сокращения расчетов можно воспользоваться переходом к полярным координатам:

 

Расчет в системе Maple через полярные координаты:

> restart:x:=p*cos(a);y:=p*sin(a);

int(int((2*x+y)*p,a=-arctan(2)..Pi-arctan(2)),p=0..R);

 

В принципе, можно было не переходить к полярным координатам, а находить двойной интеграл непосредственно в декартовых координатах. Это несколько сложнее, поэтому ниже я привожу пример такого расчета только в системе Maple

 

Расчет в системе Maple через декартовы координаты:

 

 

>

>

>

> i1+i2+i3;

>

 

      Для нахождения массы этого тела можно воспользоваться тройным интегралом в цилиндрических координатах:

 

 

Проверка в системе Maple:

 

>

 

 

  1. Найти решение уравнения, которое при

 

      1)    

     

      2)  

 

      3)  

 

 

 

 

 

 

  1. Найти общее решение

 

 

      1)  

Приведем уравнение к линейному неоднородному и применим метод Лагранжа

 

 

Cоставим и решим соответствующее однородное уравнение

 

Полагаем С=С(х)

 

Итого:  - общее решение.

 

Проверка в системе Maple:

     

> dsolve(diff(y(x),x)=3*x-y(x),y(x));

 

 

 

 

2)   

 

Приведем уравнение к линейному неоднородному и применим метод Лагранжа

 

 

Cоставим и решим соответствующее однородное уравнение

 

Полагаем С=С(х)

 

Итого:  - общее решение.

 

Проверка в системе Maple:

 

> dsolve(diff(y(x),x)-y(x)/x=x^3,y(x));

 

 

  1. Установить сходимость или расходимость рядов:

 

      1)   

Ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости:

 

      2)  

 

Ряд расходится, т.к. , а ряд  расходится (гармонический ряд). Таким образом, по признаку сравнения и исходный ряд расходится.

 

      3)   ряд сходится, т.к.

 

      Первый из этих рядов сходится (убывающая геометрическая прогрессия), второй ряд сходится абсолютно, т.к. для него, во-первых, выполняется признак Лейбница (абсолютные величины членов ряда убывают и стремятся к нулю при стремлении n к бесконечности, а во-вторых, ряд, составленный из модулей сходится, т.к. представляет собой все ту же убывающую геометрическую прогрессию).

      Раз оба ряда сходятся абсолютно, то и ряд, составленный из них, тоже сходится абсолютно.

      4)  - ряд сходится по интегральному признаку, т.к. сходится интеграл

 

 

7. Найти радиус сходимости ряда.

 

       

 

По признаку Даламбера ряд будет сходиться, если

 

 

 

Радиус сходимости ряда равен 1. Исследуем сходимость на границах области сходимости:

 

,

т.к. не выполняется необходимое условие сходимости

 

,

т.к. не выполняется условия признака Лейбница