IV. Решение неравенств

Пусть функции  и  определены на некотором множестве . Поставим задачу: найти множество , на котором значения одной из функций больше (меньше) значений другой из них, другими словами, найти все значения , для которых выполняется неравенство: > (<).

          При такой постановке каждое из этих неравенств называется алгебраическим неравенством с неизвестным .

Как при решении уравнения, так и при решении неравенства требуется найти все те значения неизвестной величины, для каждого из которых указанное соотношение оказывается верным. Поэтому естественно и для неравенств ввести понятия, аналогичные тем, которые мы ввели для уравнений.

          Множество  называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного неравенства.

          Множество  называется множеством решений данного неравенства.

Решить неравенство – значит найти множество всех  , для которых данное неравенство выполняется.

Два неравенства называются равносильными, если множества решений их совпадают, т.е. если всякое решение каждого из них является решением другого.

         Значение неизвестного называется допустимым для неравенства, если при этом значении обе части неравенства имеют смысл. Совокупность всех допустимых значений неизвестного называется областью определения неравенства.

Основные теоремы преобразования неравенства в равносильное ему:

·        Какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком;

·        Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то отличное от нуля положительное число; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный;

·        Если неравенство имеет вид  или , то деление обеих его частей на , как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере решений.

Между решениями неравенств и уравнений много общего. Отличие же состоит в том, что решением неравенств чаще всего являются бесконечные множества.

Значит, сделать полную проверку ответа, как это делается для уравнений, нельзя. Поэтому очень важно при решении неравенств переходить только к равносильным неравенствам.

К равносильным неравенствам приводят тождественные преобразования, не изменяющие область допустимых значений.

1.     Свойства числовых неравенств

  

пусть , тогда

 и   

  

пусть , тогда

  

2.                 Решение неравенств, содержащих квадратный трехчлен: . Пусть  - дискриминант квадратного трехчлена.

Вид неравенства

Решений нет

Решений нет

Решений нет

Решений нет

Если неравенство имеет вид меньше (<) или меньше или равно (£), то можно неравенство умножить на (-1) и свести к виду, приведенному в таблице.


Пояснения к разделу: Решение неравенств.

1. Решение целых рациональных неравенств

         Если в неравенстве  функции  и  заданы целыми рациональными выражениями, то его называют целым рациональным неравенством.

Если неравенство  привести к равносильному  и разложить левую часть на линейные множители, то такое неравенство можно решить методом интервалов.

Суть этого метода в следующем:

·        Перенести все слагаемые в левую часть и решить уравнение, приравняв выражение в левой части к нулю;

·        Найденные корни уравнения нанести на числовую ость. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак;

·        Выбрать в каждом из промежутков какое-нибудь значение («пробную» точку) и определить знак выражения в этой точке;

·        Выбрать промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак и записать ответ, взяв их объединения.

Пример. Решить неравенство:

.

 

Решение. Уравнение  имеет четыре корня ; ; и . Эти числа разбивают числовую ось на пять промежутков:

         Выбрав в каждом промежутке контрольную точку, определим знак функции, стоящей слева нашего неравенства. Неравенство выполняется в промежутках:

Замечание. Если все множители в левой части имеют первую степень, то остаточно найти знак в каждом промежутке, а потом учесть, что она меняет знак при переходе от одного промежутка к соседнему, и нарисовать «кривую знаков». Если эта кривая расположена выше оси абсцисс, левая часть неравенства положительна, а там, где эта кривая расположена ниже оси абсцисс, левая часть неравенства отрицательна.

Замечание. Однако метод интервалов дал бы неверный результат, если бы среди корней многочленов были кратные корни, а это значит, что в левой части неравенства не только линейные множители.

2. Решение дробно-рациональных неравенств

         Дробно рациональные неравенства  можно привести к равносильному неравенству , тогда метод интервалов применим и для решения дробно-рациональных неравенств.

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде:

,

 не является корнем левой части неравенства, поэтому равносильное последнему неравенству будет следующее:

 при .

         С помощью «пробных» точек найдем знак выражения в каждом промежутке, которые были получены, когда мы нанести на числовую ось числа 1, 2 и 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

         Выпишем интервалы, где выполняется неравенство:

.

Уравнение  имеет четыре

3. Неравенства, содержащие знак модуля.

         Одним из методов решения неравенств, содержащих знак модуля, является метод промежутков, который был рассмотрен при решении уравнений с модулем.

Разобъем числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля.

Выбирая на этих промежутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется ли на них заданное неравенство или нет. Ответом к задаче служит объединение промежутков, где выполняется данное неравенство.

 

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Разобъем числовую ось точками  и на промежутки  ,  и .

Рассмотрим промежуток . Взяв контрольную точку, например, , убеждаемся, что  и , заменяя модули, получаем равносильное неравенство:

.

После элементарных упрощений получаем . Значит, решением неравенства на рассматриваемом промежутке является множество .

Перейдем на следующий промежуток . Взяв контрольную точку , убеждаемся, что  и . Неравенство упрощается:

,    ,   .

Решением неравенства является множество .

Перейдем к последнему промежутку . Убедимся, что на нем  и . Неравенство равносильно следующему:

,      ,          ,      .

         Получили решение . Осталось объединить решения, полученные в трех случаях: =.

4. Иррациональные неравенства.

         Рассмотрим решение иррациональных неравенств, т.е. неравенств, в которых неизвестная содержится под знаком радикала. Простейшие из них имеют вид:

 или .

         При рассмотрении этих неравенств будут применяться следующие утверждения:

1.     Неравенство вида  (при натуральном ) равносильно системе неравенств:

2.     Неравенство вида  равносильно совокупности двух систем неравенств:

 и

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:

            

Итак, решением системы является множество .

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:

а)       и       б)

Решением а) системы является множество .

Решая б) систему, получим:

  

         Осталось объединить решения, полученные в обоих случаях :


.

5. Уравнения и неравенства с параметрами.

         Иногда в уравнениях и неравенствах некоторые коэффициенты или свободные члены заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые значения.

5.1. Аналитический метод решения задач с параметрами.

Решить уравнение с параметрами означает следующее:

            а) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при различных значениях параметров;

         б) найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

 

Пример. Решить уравнение:

.

Решение. Данное уравнение имеет один параметр . Если , то уравнение  имеет один корень . При  уравнение является квадратным и, исследуя дискриминант , получаем, что уравнение не имеет действительных корней, когда , т.е. . При  получаем, что для  и  уравнение имеет одно решение, а при  - два решения.

         Поэтому ответ записывается так:

При

При

При

При

При

Действительных корней нет.

Пример. При каких значениях параметра  уравнение:

 имеет ровно три корня.

Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим на множители. Получим уравнение:

 или .

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

         Получим ровно три корня:

 и ,

но при условии, что подкоренное выражение положительно: . Решив это неравенство, получаем, что при  уравнение имеет ровно три корня.

Пример. Для каждого значения параметра  определить число решений уравнения:  и найти их.

Решение. Заметим, что при  уравнение решения не имеет.

Если , то уравнение  имеет два корня  и .

Рассмотрим случай . Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

         Решая их, получим  и . Если дискриминанты  и  этих уравнений равны нулю, т.е. при , каждое уравнение имеет по одному корню .

Если дискриминанты положительны:

      

         Окончательно получим, что при  уравнение имеет четыре корня.

5.2. Графический метод решения задач с параметрами.

Рассмотрим задачи, которые могут быть легко решены с помощью исследования графиков функций. Для этого потребуется знание графиков линейной, квадратичной, дробно-рациональной функций и их преобразований.

Решить уравнение графически, это когда на одном и том же рисунке построить графики двух функций и найти их точки пересечения, абсциссы этих точек и дадут корни уравнений.


 

Пример. Решить уравнение:

Решение. При  уравнение не имеет решения. Рассмотрим случай  и построим графики двух функций  и .

         Из графиков видим, что при ,  уравнение имеет один корень. При  графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два корня:

         и .

 

Пример. Решить уравнение:

.

Решение. Это уравнение равносильно системе:

После эквивалентных преобразований получим систему:

         Построим графики функций ;  и область значений неравенства  (рис. 6).

         Если , , при  уравнение  имеет два корня:

;

при , .

.

Пример. При каких значениях все решения неравенства  являются решениями неравенства .

Решение. Решим графически. Построим графики функций:

 и .

График второй функции пересекает ось  в точках: . По условию задачи требуется, чтобы все решения первого неравенства являлись решениями второго, значит графики должны быть расположены так, как изображены на рис. 7. Тогда должны выполняться следующие условия:

                       

         Итак, при  решения первого неравенства являются решениями второго.