II.      Функции и графики

Переменная величина  называется функцией переменной величины , если каждому значению  соответствует определенное значение .

Множество всех тех значений, которые принимает аргумент  функции , называется областью определения этой функции.

Множество всех тех значений, которые принимает сама функция , называется областью значений (изменения) этой функции.

Функция называется четной, если при всех значений  из области определения этой функции .

Функция называется нечетной, если при всех значений  из области определения этой функции .

Область определения четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат.

Функция  называется возрастающей (убывающей) на данном промежутке, если при произвольных двух различных значениях аргумента, из данного промежутка, большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функция  называется периодической, с периодом , где , если значение функции не изменяется при прибавлении числа  к любому допустимому значению аргумента: .

Функция  называется ограниченной, если можно указать такое положительное число , что  для всех значений  из области определения функции. Если же точка  не существует, то функция называется неограниченной.

Графиком функции  называется множество всех точек плоскости, координаты которых .

Функцию вида , называют квадратичной. Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой. Точку с координатами  называют вершиной параболы.


Пояснения к разделу: Функции и графики.

Соответствие между элементами двух множеств  и , при котором каждому элементу множества  (коротко это записывается таким образом: ) сопоставляется не более одного элемента  (), называется функцией.

Отсюда следует, что понятие функции имеет три главных компонента:

-         множество  (которое называется областью определения функции),

-          множество (которое называется областью значений функции),

-          закон соответствия (который иногда называется функциональной зависимостью).

При этом закон соответствия может быть задан любым способом: таблицей, графиком, формулой или как-то иначе, например, при помощи словесного описания.

Если функцию задают формулой, то при этом фактически указывают область определения функции и закон соответствия (область значений функции не указывается явно, так как она устанавливается, исходя из данной формулы).

Областью определения функции, заданной явной аналитической формулой, считают множество всех тех значений аргумента, для которых все указанные в формуле операции выполнимы.

Приведем примеры аналитических формул, в которые входят операции, ограничивающие область существования функции:

Аналитическая формула

Ограничения

 или

  

         Пример. Найти область определения функции:

.

         Чтобы найти область определения данной функции, следует решить систему неравенств:

 Ответ:   .

Область значений (изменения) функции можно найти, исследуя аналитическое выражение функции или разрешая данное уравнение функции относительно .

Примеры. Найти область изменения функции:

1) .

Первый способ. Область определения данной функции . Для нахождения области изменения удобно данную функцию записать в таком виде: .

Дробь  принимает в области определения функции всевозможные значения, кроме нуля. Следовательно, областью изменения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме, .

Второй способ. Разрешают данное уравнение функции относительно . Получают . Откуда следует, что  может быть любым действительным числом, кроме 2.

2) .

Область определения данной функции , где  Z. На этой области данная функция и функция  имеют одну и ту же область изменения. Найдем область изменения функции :

, откуда следует, что .

Далее следует исключить из области изменения  те значения, которые  принимает при :

         При других значениях  значения  совпадают с одним из полученных трех значений, которые эта функция принимает только при .

         Итак, областью изменения функции  являются действительные числа, удовлетворяющие неравенствам:

 и .

 

 

Способы построения графиков функций

«по точкам»

Вытекает из определения графика функции. Он является длинным и недостаточно надежным. Применяется в школьном курсе математики при первоначальном знакомстве с простейшими функциями. (На графике функция ).

Путем сдвига графиков основных функций или сдвига осей координат

Чтобы построить график функции , можно или график функции  сдвинуть вдоль оси  на  единиц в сторону, совпадающую со знаком , или перенести параллельно ось  в сторону, противоположную знаку . (На примере функции  и ).

Чтобы построить график функции, можно или график функции  вдоль оси  на  единиц в сторону, противоположную знаку , или перенести параллельно ось  в сторону, совпадающую со знаком . (На примере функции  и ).

путем симметричного отображения относительно осей координат

Чтобы построить график функции , можно построить изображение, симметричное графику  функции  относительно оси . (На примере функции  и ).

Чтобы построить график функции , можно построить изображение, симметричное графику  функции  относительно оси . (На примере функции  и ).

Путем деформирования графиков основных функций

Чтобы построить график функции  при , можно график  функции  растянуть (сжать) вдоль оси , если  (). (На примере функции ,  и ).

Чтобы построить график функции  при , можно график  функции  растянуть (сжать) вдоль оси , если  ()...(На примере функции ,  и ).

Способы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины

Функция  четная. Чтобы построить ее график, достаточно построить для  график функции , а затем достроить его левую часть, симметричную правой относительно оси . (На примере функции ).

Можно данную функцию рассматривать как совокупность двух функций: . Чтобы построить график функции , достаточно построить график функции  и ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси . (На примере функции )

Функция  четная. Построить для  график функции , затем его симметрично отразить относительно оси , и, наконец, ту часть полученного графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси . (На примере функции ).

Кусочно-линейная функция

Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия. Для построения графика находят уравнения звеньев ломаной.(Функция ). Уравнения звеньев ломаной:

 

 


 

Построение графиков функций на основании результатов исследования функции (без использования понятия производной)

Дана функция

преобразуем

1. Область определения

2. Область значений

3. Четность, нечетность

 и  Ни четная, ни нечетная

4. Монотонность

Убывает во всей области определения

5. Пересечение с осями  и

6. Промежутки знакопостоянства

7. Поведение функции вблизи точек разрыва и при

 

По результатам исследований строим график

         При построении графика функции следует найти точки, в которых он пересекает оси координат, а также выяснить поведение функции при , стремящемся к  в случае, когда ее область определения не ограничена. Необходимо также исследовать поведение функции вблизи тех точек, в которых она не определена. Все сказанное проиллюстрируем примерами.

         Построим графики следующих функций:

         1) . Функция определена на всей оси , четная. Ее график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат и направленных по биссектрисам I и II координатных углов (рис.1а).

         2) . Функция определена на всей оси , четная. На рис. 1б приведен ее график, причем он построен из двух половинок , при  и , при .

         3) . Функция определена на всей оси , четная (рис. 1в). Поскольку знаменатель дроби  при любом , то . В точке  функция достигает своего наибольшего значения. При неограниченном возрастании  величина  становится сколь угодно близкой к нулю (стремится к нулю).

4) .

По определению арифметического корня имеем:

.

         Но

         Следовательно,

     Как видим, график данной функции состоит из части параболы  и отрезка прямой . Построив их и, выделив соответствующие части, получим график заданной функции (рис. 1г).

 

а) .

б) .

в)  (пунктиром )

г)  (пунктиром )

Рис.1. Окончательные графики функций.


Примеры решения задач.

1). Построить график функции  на основании результатов исследования функции.

Решение. Для построения графика функции исследуем ее, придерживаясь общей схемы исследования.

1.     Нахождение области определения.

     .

2.     Определение четности или нечетности.

         Функция  - четная. Дальнейшее исследование будем вести для .

3.     Область изменения функции.

Если , то . Если , то . Следовательно, .

4.     Пересечение с координатными осями.

Если , то . Пересечений с осью  нет, т.к.  не входит в область определения функции.

5.     Выделение промежутков монотонности.

Для  рассмотрим разность:

.

При возрастании значений  от  до  значения  возрастают.

6.     Нахождение корней функции и промежутков знакопостоянства.

Если , то  при .  при всех .

7.     По результатам исследований строим график функции.

Рис 2. График функции .