Вариант вступительного экзамена МГУ им. М.В. Ломоносова

от 17 июля 2012 года

1. Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны  и , а свободный член равен -5.

2. Вычислите :

3. Решите неравенство: 

4. Решите уравнение:  

5. Найдите площадь фигуры, состоящей из множества всех точек , удовлетворяющих уравнению:

6. Центр окружности лежит на стороне ВС треугольника АВС. Окружность касается сторон АВ и АС в точках D и E соответственно и пересекает сторону ВС в точках F и G (точка F лежит между точками B и G). Известно, что BF=1, а .

Найти отрезок CG.

7. При каких значениях параметра a  уравнение имеет единственную пару решений :

8. В основании пирамиды лежит правильный треугольник АВС со стороной, равной 5, боковые ребра AS, BS, CS пирамиды равны соответственно 7, 7 и 3. Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости АВС и касается прямых АС и ВС. Найти радиус основания цилиндра.